Question

如圖（1），△ABC是等邊三角形，DE是中位線，F(xiàn)是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE，EF．
（1）求證：BE=EF；
（2）若將DE從中位線的位置向上平移，使點D，E分別在線段AB，AC上（點E與點A不重合），其他條件不變，如圖（2），則（1）題中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=CA，
∵DE是中位線，
∴E是AC的中點，
∴BE平分∠ABC，AE=EC，
∴∠EBC=∠ABC=30°
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠F．
∵∠CEF+∠F=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠EBC=∠F
∴BE=EF；

（2）結(jié)論任然成立．
∵DE是由中位線平移所得，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=60°，
∠AED=∠ACB=60°．
∴△ADE是等邊三角形．
∴DE=AD=AE，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵AE=CF，
∴DE=DF，
∵∠BDE=180°-∠ADE=120°，
∠FCE=180-∠ACB=120°，
∴∠FCE=∠EDB，
∴△BDE≌△ECF，
∴BE=EF．
分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)以及三線合一證明得出結(jié)論；
（2）由中位線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)證明．
點評：此題考查等邊三角形以及三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點．