Question

如圖，正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的四等分點(diǎn)即AF＝AD．求證：EF⊥EC．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：如圖(甲)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為4a，則 　　∵E是AB中點(diǎn)，AF＝AD， 　　∴AE＝EB＝2a， 　　AF＝a，F(xiàn)D＝3a． 　　在Rt△AFE、Rt△BEC和Rt△DCF中， 　　EF2＝AF2＋AE2＝a2＋(2a)2＝5a2， 　　EC2＝EB2＋BC2＝(2a)2＋(4a)2＝20a2， 　　FC2＝FD2＋DC2＝(3a)2＋(4a)2＝25a2． 　　由5a2＋20a2＝25a2，得 　　EF2＋EC2＝FC2． 　　∴△EFC是直角三角形，且∠FEC＝． 　　即EF⊥EC． 　　證法2：如圖(乙)，延長(zhǎng)FE交CB的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，則 　　∵E是AB中點(diǎn)， 　　∴AE＝EB． 　　又∵∠1＝∠2，∠A＝∠ABG＝， 　　∴△AFE≌△BGE． 　　∴BG＝AF＝AD，EF＝EG， 　　∴CG＝CB＋BG＝AD＋AD 　�。�AD． 　　又∵AF＝AD，CD＝AD， 　　∴FD＝AD． 　　由勾股定理，得 　　FC＝＝＝AD． 　　∴FC＝GC． 　　∴EC⊥EF． 　　證法3：如圖(丙)，延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則 　　∵E是AB中點(diǎn)， 　　∴AE＝EB． 　　又∵∠1＝∠2，∠B＝∠EAH＝， 　　∴△AHE≌△BCE． 　　∴AH＝BC，HE＝CE． 　　∴HF＝HA＋AF＝AD＋ 　　AD＝AD． 　　又∵FD＝AD，DC＝AD， 　　∴FC＝＝＝AD． 　　∴HF＝CF． 　　∴EF⊥EC．

提示：

點(diǎn)悟：因E、F分別是正方形ABCD邊上的特殊點(diǎn)，故可以考慮證明△EFC是直角三角形，或直接證明EF⊥EC，所以可以借助于它們之間的數(shù)量關(guān)系用勾股定理的逆定理求解，或添加輔助線，移動(dòng)AF或BE的位置，構(gòu)造新的圖形關(guān)系，從而直接證明． 　　點(diǎn)撥：對(duì)于正方形的有關(guān)問(wèn)題，因其圖形特殊，用代數(shù)法解決幾何問(wèn)題就顯得較簡(jiǎn)捷易懂．如本題證法1．