Question

已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線．
求證：BC=AB+AD．

Answer 1

分析：過D作DE垂直于BC，由DA垂直于AB，且BD為角平分線，利用角平分線性質(zhì)得出DA=DE，再由斜邊BD為公共邊，利用HL得出直角三角形ABD與直角三角形BED全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得出AB=BE，由AB=AC，且BA與AC垂直得到三角形ABC為等腰直角三角形，可得出三角形DEC為等腰直角三角形，得出DE=EC，而BC=EB+EC，等量代換即可得證．

解答：解：過D作DE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD是∠ABC的平分線，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DA=DE，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，

BD=BD DA=DE

，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB=BE，
又∵∠A=90°，且AB=AC，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°，又∠DEC=90°，
∴△DEC為等腰直角三角形，
∴DE=EC，
∴AD=EC，
則BC=BE+EC=AB+AD．

點(diǎn)評：此題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．