(2012•南京)如圖,A、B是⊙O上的兩個定點,P是⊙O上的動點(P不與A、B重合)、我們稱∠APB是⊙O上關(guān)于點A、B的滑動角.
(1)已知∠APB是⊙O上關(guān)于點A、B的滑動角,
①若AB是⊙O的直徑,則∠APB=
90
90
°;
②若⊙O的半徑是1,AB=
2
,求∠APB的度數(shù);
(2)已知O2是⊙O1外一點,以O(shè)2為圓心作一個圓與⊙O1相交于A、B兩點,∠APB是⊙O1上關(guān)于點A、B的滑動角,直線PA、PB分別交⊙O2于M、N(點M與點A、點N與點B均不重合),連接AN,試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系.
分析:(1)①根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°即可求解;
②根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°,再分點P在優(yōu)弧
AB
上;點P在劣弧
AB
上兩種情況討論求解;
(2)根據(jù)點P在⊙O1上的位置分為四種情況得到∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系.
解答:解:(1)①若AB是⊙O的直徑,則∠APB=90.
②如圖,連接AB、OA、OB.
在△AOB中,
∵OA=OB=1.AB=
2
,
∴OA2+OB2=AB2
∴∠AOB=90°.
當(dāng)點P在優(yōu)弧
APB
上時,∠AP1B=
1
2
∠AOB=45°;
當(dāng)點P在劣弧
AB
上時,∠AP2B=
1
2
(360°-∠AOB)=135°…6分

(2)根據(jù)點P在⊙O1上的位置分為以下四種情況.

第一種情況:點P在⊙O2外,且點A在點P與點M之間,點B在點P與點N之間,如圖①
∵∠MAN=∠APB+∠ANB,
∴∠APB=∠MAN-∠ANB;
第二種情況:點P在⊙O2外,且點A在點P與點M之間,點N在點P與點B之間,如圖②.
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+(180°-∠ANB),
∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°;
第三種情況:點P在⊙O2外,且點M在點P與點A之間,點B在點P與點N之間,如圖③.
∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°,
∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB,
第四種情況:點P在⊙O2內(nèi),如圖④,
∠APB=∠MAN+∠ANB.
點評:綜合考查了圓周角定理,勾股定理的逆定理,點與圓的位置關(guān)系,本題難度較大,注意分類思想的運(yùn)用.
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3.6
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