Question

如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥AC交線段AB于點(diǎn)F，在線段AC上取一點(diǎn)P，使PE=EB，連接FP．
（1）請(qǐng)直接寫出圖中與線段EF相等的所有線段．（不再另外添加輔助線）
（2）點(diǎn)E滿足什么條件時(shí)，四邊形EFPC是菱形，并說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，以點(diǎn)E為圓心，r為半徑作圓，根據(jù)E與此時(shí)平行四邊形EFPC四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，求相應(yīng)的r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由平行易得△BFE是等邊三角形，那么各邊是相等的；
（2）當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，△PEC為等邊三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四邊形EFPC是平行四邊形，再有EF=EC可證為菱形；
（3）根據(jù)各點(diǎn)到圓心的距離作答即可．

解答：解：（1）∵等邊△ABC，EF∥AC，
∴△BEF是等邊三角形，
∵PE=EB，
∴EF=BE=PE=BF；

（2）當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是菱形．
理由：∵E是BC的中點(diǎn)，
∴EC=BE，
∵PE=BE，
∴PE=EC，
∵∠C=60°，
∴△PEC是等邊三角形，
∴PC=EC=PE，
∵EF=BE，
∴EF=PC，
又∵EF∥CP，
∴四邊形EFPC是平行四邊形，
∵EC=PC=EF，
∴平行四邊形EFPC是菱形；

（3）如圖所示：
當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，EC=1，則NE=ECcos30°=

3

2

，
當(dāng)0＜r＜

3

2

時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)r=

3

2

時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)

3

2

＜r＜1時(shí)，有六個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)r=1時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)r＞1時(shí)，有0個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，菱形的判定及點(diǎn)和圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)．注意圓和線段有交點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)半徑作答．