Question

如圖所示．△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．
（1）求證：GH∥BC；
（2）若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．

Answer 1

解：（1）證明：分別延長AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG（ASA）．
從而，G是AM的中點(diǎn)．同理可證△ACH≌△NCH（ASA），
從而，H是AN的中點(diǎn)．所以GH是△AMN的中位線，從而，HG∥MN，即HG∥BC．

（2）解：由（1）知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，
所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．
又BC=18厘米，
所以BN=BC-CN=18-14=4（厘米），
MC=BC-BM=18-9=9（厘米）．
從而MN=18-4-9=5（厘米），
∴GH=MN=cm．
分析：（1）若延長AG，設(shè)延長線交BC于M．由角平分線的對稱性可以證明△ABG≌△MBG，從而G是AM的中點(diǎn)；同樣，延長AH交BC于N，H是AN的中點(diǎn)，從而GH就是△AMN的中位線，所以GH∥BC；
（2）利用△ABC的三邊長可求出GH的長度．
點(diǎn)評：說明（1）在本題證明過程中，我們事實(shí)上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一（即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線）性質(zhì)定理的逆定理：“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的垂線，則這條平分線也是對邊的中線，這個三角形是等腰三角形”．
（2）“等腰三角形三線合一定理”的下述逆命題也是正確的：“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的中線，則這個三角形是等腰三角形，這條平分線垂直于對邊”．同學(xué)們不妨自己證明．
（3）從本題的證明過程中，我們得到啟發(fā)：若將條件“∠B，∠C的平分線”改為“∠B（或∠C）及∠C（或∠B）的外角平分線”（如圖1所示），或改為“∠B，∠C的外角平分線”（如圖2所示），其余條件不變，那么，結(jié)論GH∥BC仍然成立．同學(xué)們也不妨試證．