Question

正方形OCED與扇形OAB有公共頂點(diǎn)O，分別以O(shè)A、OB所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．如圖所示、正方形兩個(gè)頂點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸正半軸上移動(dòng)、設(shè)OC=x，OA=3，則：
（1）當(dāng)x=1時(shí)，正方形與扇形不重合的面積是

 

；
（2）當(dāng)x=

 

時(shí)，直線CD與扇形OAB相切，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)是

 

；
（3）當(dāng)正方形有頂點(diǎn)恰好落在AB上時(shí)，求正方形與扇形不重合的面積．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=1時(shí)，用扇形面積-正方形面積，直接得出結(jié)論；
（2）如圖，直線CD與扇形OAB相切，切線為C₁D₁，切點(diǎn)為E₁，可知OE₁=OA=3，OE₁⊥C₁D₁，C₁D₁∥CD，故∠E₁C₁0=∠DCO=45°，解直角三角形可求OC₁，確定C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖，當(dāng)正方形有頂點(diǎn)恰好落在AB上時(shí)，正方形對角線OE₁=OA=3，正方形面積等于對角線積的一半，用扇形面積-正方形面積即可．

解答：解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，正方形與扇形不重合的面積是：

9π

4

-1；
（2）如圖，當(dāng)直線CD與扇形OAB相切時(shí)，設(shè)切線為C₁D₁，切點(diǎn)為E₁，
根據(jù)切線的性質(zhì)得，OE₁=OA=3，OE₁⊥C₁D₁，
又∵C₁D₁∥CD，∴∠E₁C₁0=∠DCO=45°，
∴OC₂，=C₂E₁=OE₁•sin45°=

3 2

2

，
即切點(diǎn)E₁坐標(biāo)為（

3 2

2

，

3 2

2

）；

（3）①如圖，當(dāng)正方形有頂點(diǎn)恰好落在AB上時(shí)，正方形對角線OE₁=OA=3，
不重合部分面積為：

9π

4

-

1

2

×3×3=

9π

4

-

9

2

．
②如圖b，當(dāng)點(diǎn)C，D分別與A，B重合時(shí)，OC=OA=3，
∴不重合部分面積為：S_{正方形OCED}-S_扇形AOB=9-

9

4

π．

點(diǎn)評：本題考查了直角坐標(biāo)系中，圖形的點(diǎn)的坐標(biāo)求法，面積問題，需要根據(jù)題意，結(jié)合圖形特點(diǎn)求解，具有一定的綜合性．