【題目】如圖,點P(x,y1)與Q(x,y2)分別是兩個函數(shù)圖象C1與C2上的任一點.當(dāng)a≤x≤b時,有﹣1≤y1﹣y2≤1成立,則稱這兩個函數(shù)在a≤x≤b上是“相鄰函數(shù)”,否則稱它們在a≤x≤b上是“非相鄰函數(shù)”.例如,點P(x,y1)與Q(x,y2)分別是兩個函數(shù)y=3x+1與y=2x﹣1圖象上的任一點,當(dāng)﹣3≤x≤﹣1時,y1﹣y2=(3x+1)﹣(2x﹣1)=x+2,通過構(gòu)造函數(shù)y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性質(zhì),得到該函數(shù)值的范圍是﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立,因此這兩個函數(shù)在﹣3≤x≤﹣1上是“相鄰函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)y=3x+1與y=2x+2在0≤x≤2上是否為“相鄰函數(shù)”,并說明理由;
(2)若函數(shù)y=x2﹣x與y=xa在0≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”,求a的取值范圍.
【答案】(1)函數(shù)y=3x+1與y=2x+2在0≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”,理由見解析;
(2)若函數(shù)y=x2﹣x與y=xa在0≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”,則a的取值范圍為≤a≤1.
【解析】分析:(1)通過構(gòu)建函數(shù)y=x-1,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出該函數(shù)在0≤x≤2上單調(diào)遞增,分別代入x=0、x=2即可得出y的取值范圍,由此即可得出結(jié)論;(2)由函數(shù)y=-x與y=xa在0≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”,構(gòu)造函數(shù)y=-(a+1)x,根據(jù)拋物線的位置不同,令其最大值≤1、最小值≥-1,解關(guān)于a的不等式組即可得出結(jié)論.
本題解析:(1)函數(shù)y=3x+1與y=2x+2在0 ≤ x≤ 2上是“相鄰函數(shù)”,理由如下:
點P(x,y1)與Q。x,y2)分別是兩個函數(shù)y=3x+1與y=2x+2圖象上的任一點,
當(dāng)0≤ x≤ 2時,y1﹣y2=(3x+1)﹣(2x+2)=x﹣1,通過構(gòu)造函數(shù)y=x﹣1并研究它在0≤ x≤ 2上的性質(zhì),得到該函數(shù)值的范圍是﹣1 ≤ y ≤1,所以﹣1 ≤ y1﹣y2 ≤1成立,
因此這兩個函數(shù)在0 ≤ x ≤2上是“相鄰函數(shù)”.
(2)∵函數(shù)y=x2﹣x與y= x a在0 ≤ x ≤2上是“相鄰函數(shù)”,
∴構(gòu)造函數(shù)y=x2﹣(a+1)x,在0 ≤ x ≤2上﹣1 ≤ y ≤1.
根據(jù)拋物線y=x2﹣(a+1)x對稱軸的位置不同,來考慮:
①當(dāng)≤0,即a≤﹣1時(圖1),
,解得:a≥ ,
∴此時無解;
②當(dāng)0< ≤1,即﹣1<a≤1時(圖2),
,解得: ≤a≤1,
∴≤a≤1;
③當(dāng)1<≤2,即1<a≤3時(圖3),
,解得:﹣3≤a≤1,
∴此時無解;
④當(dāng)2<,即a>3時(圖4),
,解得:a≤ ,
∴此時無解.
綜上可知:若函數(shù)y=x2﹣x與y=xa在0≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”,則a的取值范圍為≤a≤1.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀理解:已知點P(x0,y0)和直線y=kx+b,則點P到直線y=kx+b的距離,可用公式d=計算.
例如:求點P(﹣1,2)到直線y=3x+7的距離.
解:因為直線y=3x+7,其中k=3,b=7.
所以點P(﹣1,2)到直線y=3x+7的距離為:d====.
根據(jù)以上材料,解答下列問題:
(1)求點P(1,﹣1)到直線y=x﹣1的距離;
(2)已知⊙Q的圓心Q坐標(biāo)為(0,5),半徑r為2,判斷⊙Q與直線y=x+9的位置關(guān)系并說明理由;
(3)已知直線y=﹣2x+4與y=﹣2x﹣6平行,求這兩條直線之間的距離.
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【題目】下列事件是必然事件的是( 。
A.有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩三角形全等
B.若a2=b2 則有a=b
C.方程x2﹣x+1=0有兩個不等實根
D.圓的切線垂直于過切點的半徑
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點坐標(biāo)是A(-7,1),B(1,1),C(1,7).線段DE的端點坐標(biāo)是D(7,-1),E(-1,-7).
(1)試說明如何平移線段AC,使其與線段ED重合;
(2)將△ABC繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn),使AC的對應(yīng)邊為DE,請直接寫出點B的對應(yīng)點F的坐標(biāo);
(3)畫出(2)中的△DEF,并和△ABC同時繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°.畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.
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【題目】一個圓錐的母線長為10,側(cè)面展開圖是半圓,則圓錐的側(cè)面積是( )
A.100π
B.50π
C.20π
D.10π
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【題目】甲、乙兩家文具店出售同樣的鋼筆和本子,鋼筆每支18元,本子每本2元,甲商店推出的優(yōu)惠方法為買一支鋼筆送兩本本子;乙商店的優(yōu)惠方法為按總價的九折優(yōu)惠.小麗想購買5支鋼筆,本子x本(x≥10)
(1)若到甲商店購買,應(yīng)付 元(用代數(shù)式表示).
(2)若到乙商店購買,應(yīng)付 元(用代數(shù)式表示).
(3)若小麗要買的本子為10本,應(yīng)選擇哪家商店?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“五一”黃金周期間,為了促銷商品,甲、乙兩個商店都采取優(yōu)惠措施,甲店推出八折后再打八折,乙店則一次性六折優(yōu)惠,若同樣價格的商品,下列結(jié)論正確的是( )
A. 甲比乙優(yōu)惠 B. 乙比甲優(yōu)惠 C. 兩店優(yōu)惠條件相同 D. 不能進(jìn)行比較
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,過點C的直線與AB的延長線交于點P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)求證:BC=AB;
(3)點M是弧AB的中點,CM交AB于點N,若AB=4,求MNMC的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直線上順次取A,B,C三點,分別以AB,BC為邊長在直線的同側(cè)作正三角形,作得兩個正三角形的另一頂點分別為D,E.
(1)如圖①,連結(jié)CD,AE,求證:CD=AE;
(2)如圖②,若AB=1,BC=2,求DE的長;
(3)如圖③,將圖②中的正三角形BEC繞B點作適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn),連結(jié)AE,若有DE2+BE2=AE2 , 試求∠DEB的度數(shù).
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