Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一個動點（不含點B、C），作PQ⊥AP交CD于點Q（圖1）
（1）求BC的長與梯形ABCD的面積；
（2）當PQ=DQ時，求BP的長．（圖2）

Answer 1

解：（1）如圖，過B點作BE⊥CD，垂足為E，
在Rt△BEC中，∠BEC=90度，tanC=，AD=BE=4，
∴tanC==，CE=3，
由勾股定理可得BC=5，
∵AB=DE=2，
∴CD=5，
∴S_梯形ABCD=；

（2）解法一：
如圖，過點P作PN⊥CD，交CD于點N，交AB的延長線于M，
已知條件可知點P是點D沿AQ翻折而得到的，推得AP=4，
∵梯形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠MBP=∠C，
在Rt△BMP中，∠BMP=90度，BP=x，tan∠MBP=tan∠C=，
可推得MP=，BM=，
在Rt△AMP中，利用勾股定理可推得AM²+MP²=AP²，
即，
整理方程得5x²+12x-60=0，
解之滿足條件的；

解法二
解：過點A作AG⊥BC，交BC的延長線于點G．
由題意可知：AP=4，
∵梯形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABG=∠C，
∵AB=2，tan∠ABG=tan∠C=，
∴可通過解直角三角形得AG=BG=，
在Rt△APG中，利用勾股定理可得AG²+GP²=AP²，
即，
化簡得5x²+12x-60=0，
以下解法同上．

解法三：
解：如圖，延長AP與DC相交于點F，
可推得AP=4，
由已知可得AB=2，BP=x，CP=5-x，
利用相似三角形的知識或平行線截線段成比例，
定理可得，
在Rt△ADF中，∠D=90度，AD²+DF²=AF²，
即．
化簡得5x²+12x-60=0，以下解法同解法一、二．
分析：（1）過B點作BE⊥CD，垂足為E，根據(jù)∠C的正切值可以求出CE的長度，然后利用勾股定理即可求出BC的長度；先求出CD的長度，再利用梯形的面積公式進行求解即可；
（2）過點P作PN⊥CD，交CD于點N，交AB的延長線于M，根據(jù)題意可以看做點P是點Q沿AQ翻折而得到的，根據(jù)翻折的對稱性，AP=AD，再設(shè)BP=x，利用∠C的正切值表示出PM，BM，然后在△APM中，利用勾股定理列式計算即可求出BP的長度．
點評：本題考查了直角梯形，勾股定理以及解直角三角形的知識，是綜合題，仔細分析圖形作出輔助線是解題的關(guān)鍵．