Question

已知：如圖，等邊△ABC中，AB=1，P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PE⊥BC，垂足為E；作EF⊥AC，垂足為F；作FQ⊥AB，垂足為Q．
（1）設(shè)BP=x，AQ=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q重合時(shí)，求線(xiàn)段EF的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q不重合，但線(xiàn)段PE、FQ延長(zhǎng)線(xiàn)相交時(shí)，求它們與線(xiàn)段EF圍成的三角形周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知等邊△ABC中，可得每個(gè)角都是60°，由作PE⊥BC，垂足為E；作EF⊥AC，垂足為F；作FQ⊥AB，垂足為Q，得三個(gè)直角三角形且都有30°的角，據(jù)此用x可表示出BE，CE，CF，相繼表示出AF，AQ，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）由已知可列出方程組結(jié)合已知求出EF的長(zhǎng)．
（3）當(dāng)線(xiàn)段PE、FQ相交時(shí)，根據(jù)已知得到它們與線(xiàn)段EF圍成的三角形三個(gè)角都是60°．
解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，AB=1．
∴∠A=∠B=∠C=60°，BC=CA=AB=1．
又∵∠BEP=∠CFE=∠FQA=90°，BP=x．
∴BE=x，CE=1-x，CF=-x，AF=1-（-x）=+x．
∴AQ=AF=（+x），
∴y=x+．

（2）由方程組
得x=．
∴當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q重合時(shí)，x=，
∴EF=CF=（-x）=．

（3）設(shè)線(xiàn)段EP、FQ的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)M，
∵EF⊥AC，
∴∠3+∠QFE=90°，
∵FQ⊥AB，
∴∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠QFE=60°，
∵∠1+∠C=90°，
∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠C=60°，
∴△MEF是等邊三角形，
且當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)A重合時(shí)，EF最短為．
∴≤m＜．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的是等邊三角形判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是由已知等邊三角形和已知作的垂線(xiàn)得30°角的直角三角形求解．