Question

提出問題：

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，H分別在BC，AB上，若AE⊥DH于點O，求證：AE=DH；

類比探究：

（2）如圖2，在正方形ABCD中，點H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

綜合運(yùn)用：

（3）在（2）問條件下，HF∥GE，如圖3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【考點】四邊形綜合題．

【專題】幾何綜合題；探究型．

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；

（2）EF=GH．將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF，將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，所以EF=GH；

（3）易得△AHF∽△CGE，所以，由EC=2得AF=1，過F作FP⊥BC于P，根據(jù)勾股定理得EF=，因為FH∥EG，所以，根據(jù)（2）①知EF=GH，所以FO=HO，再求得三角形FOH與三角形EOG的面積相加即可．

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．

∴∠HAO+∠OAD=90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD=90°．

∴∠HAO=∠ADO．

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE=DH．

（2）EF=GH．

將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF．

將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，

∴AM⊥DN，

根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，所以EF=GH；

（3）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD

∴∠AHO=∠CGO

∵FH∥EG

∴∠FHO=∠EGO

∴∠AHF=∠CGE

∴△AHF∽△CGE

∴

∵EC=2

∴AF=1

過F作FP⊥BC于P，

根據(jù)勾股定理得EF=，

∵FH∥EG，

∴

根據(jù)（2）知EF=GH，

∴FO=HO．

∴，

，

∴陰影部分面積為．

【點評】本題考查了三角形的綜合知識．用到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等綜合性較強(qiáng)，難度較大．