Question

如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，已知拋物線的對(duì)稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求二次方程y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)距離之差最大？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）將C（0，-3）代入y=ax²+bx+c中，得到c=-3．
將c=-3，B（3，0）代入y=ax²+bx+c中，
得，9a+3b-3=0，
∴3a+b-1=0①
∵x=1是對(duì)稱軸，
∴，
∵b=-2a，②
將②代入①的a=1，
∴b=-2，
∴二次函數(shù)的解析式是y=x²-2x-3．

（2）∵P在拋物線的對(duì)稱軸上，又A、B是關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴PB=PA，即：|PB-PC|=|PA-PC|，
（根據(jù)對(duì)稱性，求P到B和C的距離之差就是求P到A和C的距離之差）
∴P、C、A三點(diǎn)共線的時(shí)候這個(gè)差最大．
∵C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-3），A點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0），
∴直線AC的解析式是y=-3x-3；
又因?yàn)閷?duì)稱軸為x=1，
所以點(diǎn)P坐標(biāo)是（1，-6）．
分析：（1）將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，聯(lián)立拋物線的對(duì)稱軸方程，即可求得該拋物線的解析式．
（2）由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，若P到B、C的距離差最大，那么P點(diǎn)必為直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，可先求出直線AC的解析式，聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸方程，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，難度適中；（2）題中能夠正確的判斷出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．