如圖甲所示,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4);
(1)求拋物線函數(shù)關(guān)系式;
(2)矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3,將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖甲所示的位置沿x軸的正方向勻速平移,同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng),設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N(如圖乙所示).
①當(dāng)t=
52
時(shí),判斷點(diǎn)P是否在直線ME上,并說明理由;
②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S,試問S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
③現(xiàn)將甲圖中的拋物線向右平移m(m>0)個(gè)單位,所得拋物線與x軸交于G、F兩點(diǎn),與原拋物線交于點(diǎn)Q,設(shè)△FGQ的面積為S,求S關(guān)于m的函關(guān)系式.
分析:(1)設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-2)2+4,將原點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以求出a的值,從而求出函數(shù)的解析式.
(2)①由(1)拋物線的解析式可以求出E點(diǎn)的坐標(biāo),從而可以求出ME的解析式,再將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式就可以判斷P點(diǎn)是否在直線ME上.
②設(shè)出點(diǎn)N(t,-(t-2)2+4),可以表示出PN的值,根據(jù)梯形的面積公式可以表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式,從而可以求出結(jié)論.
③通過平移后可以表示出其解析式,利用其解析式就可以求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),再利用三角形的面積公式就可以求出S與m的函數(shù)關(guān)系式.
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x-2)2+4,
∵拋物線過點(diǎn)m(2,4)和原點(diǎn),
∴0=4a+4,
∴a=-1
∴拋物線的解析式為:y=-(x-2)2+4

(2)①∵y=-(x-2)2+4
∴當(dāng)y=0時(shí),-(x-2)2+4=0,
∴x1=0,x2=4,
∴E(4,0),
設(shè)直線ME的解析式為:y=kx+b,則
4=2k+b
0=4k+b
,
解得:
k=-2
b=8
,
∴直線ME的解析式為:y=-2x+8,
∵矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖甲所示的位置沿x軸的正方向勻速平移,同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng),
∴當(dāng)t=
5
2
時(shí),P(
5
2
,
5
2

∴當(dāng)x=
5
2
時(shí),y=3≠
5
2

∴當(dāng)t=
5
2
時(shí),點(diǎn)P不在直線ME上.

②設(shè)點(diǎn)N(t,-(t-2)2+4),則P(t,t),
∴PN=-t2+3t,
∵AD=2,AB=3
∴S=
(-t2+3t+3)×2
2
=-t2+3t+3,
∴S=-(t2-3t+
9
4
-
9
4
)+3=-(t-
3
2
2+
21 
4

∴當(dāng)t=
3
2
時(shí),S的最大值是
21
4
;

③由題意可以知道經(jīng)過F、G的拋物線的解析式為:y=-(x-2-m)2+4,
∵經(jīng)過O、E的拋物線的解析式為:y=-(x-2)2+4,
y=-(x-2-m)2+4
y=-(x-2)2+4
,解得m=0(m>0,故舍去),或x=
4+m
2
,
x=
4+m
2
y=-
m2
4
+4

∴S=
(-
m2
4
+4)×4
2
=|-
m2
2
+8
|
如圖:當(dāng)Q點(diǎn)在x軸的下方的時(shí)候,同樣可以得出:
S=
|-
m2
4
+4|×4
2
=|-
m2
2
+8
|

點(diǎn)評(píng):本題是一道二次函數(shù)的綜合試題,考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的最值,三角形的面積公式的運(yùn)用,梯形的面積公式的運(yùn)用.
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1.求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)

2.過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P,求四邊形ACBP的面積.

3.在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M,過M作MG軸于點(diǎn)G,使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似.若存在,請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo);否則,請(qǐng)說明理由.

 

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如圖11所示,已知拋物線軸交于A、B兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)C.

【小題1】求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)
【小題2】過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P,求四邊形ACBP的面積.
【小題3】在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M,過M作MG軸于點(diǎn)G,使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似.若存在,請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo);否則,請(qǐng)說明理由.

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