Question

已知等腰三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A（0，1）、B（0，3），第三個(gè)頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、D（3，-2）、P三點(diǎn)，且點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM+CM的取值范圍．

Answer 1

（1）∵A（0，1），B（0，3），
∴AB=2，
∵△ABC是等腰三角形，且點(diǎn)C在x軸的正半軸上，
∴AC=AB=2，
∴OC=

AC2-OA2

=

3

．
∴C（

3

，0）．（2分）
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，
∴

3

k+3=0，
∴k=-

3

．
∴直線BC的解析式為y=-

3

x+3．（4分）

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴b=0．（5分）
又拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，1），D（3，-2）兩點(diǎn)．
∴

c=1 9a+c=-2

解得

a=- 1 3 c=1

∴拋物線的解析式是y=-

1

3

x²+1．（7分）
在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，易得∠ACO=30°．
在Rt△BOC中，OB=3，OC=

3

，易得∠BCO=60°．
∴CA是∠BCO的角平分線．
∴直線BC與x軸關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)．
點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上，則符合條件的點(diǎn)P就是直線BC與拋物線y=-

1

3

x²+1的交點(diǎn)．（8分）
∵點(diǎn)P在直線BC：y=-

3

x+3上，故設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，-

3

x+3）．
又∵點(diǎn)P（x，-

3

x+3）在拋物線y=-

1

3

x²+1上，
∴-

3

x+3=-

1

3

x²+1．
解得x₁=

3

，x₂=2

3

．
故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P₁（

3

，0），P₂（2

3

，-3）．（10分）

（3）要求PM+CM的取值范圍，可先求PM+C′M的最小值．
（I）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是OC=

3

時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
故PM+CM=2CM．
顯然CM的最小值就是點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為

3

，
∵點(diǎn)M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，
∴PM+CM無(wú)最大值，
∴PM+CM≥2

3

．（13分）
（II）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2

3

，-3）時(shí)，由點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′（-

3

，0），
故只要求PM+MC'的最小值，顯然線段PC'最短．易求得PC'=6．
∴PM+CM的最小值是6．
同理PM+CM沒(méi)有最大值，
∴PM+CM的取值范圍是PM+CM≥6．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

3

，0）時(shí)，PM+CM≥2

3

，
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2

3

，-3）時(shí)，PM+CM≥6．（15分）