Question

如圖，以BC為直徑的⊙O交△CFB的邊CF于點A，BM平分

∠ABC交AC于點M，AD⊥BC于點D，AD交BM于點N，ME⊥BC于點E，AB²=AF?AC，cos∠ABD=，AD=12．

⑴求證：△ANM≌△ENM；

⑵求證：FB是⊙O的切線；

⑶證明四邊形AMEN是菱形，并求該菱形的面積S．

Answer 1

.⑴證明：∵BC是⊙O的直徑

∴∠BAC=90^o

又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，

∴AM=ME，∠AMN=EMN

又∵MN=MN，

∴△ANM≌△ENM

⑵∵AB²=AF?AC

∴

又∵∠BAC=∠FAB=90^o

∴△ABF∽△ACB

∴∠ABF=∠C

又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90^o

∴FB是⊙O的切線

⑶由⑴得AN=EN，AM=EM，∠AMN=EMN，

又∵AN∥ME，∴∠ANM=∠EMN，

∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM，

∴AM=ME=EN=AN

∴四邊形AMEN是菱形

∵cos∠ABD=，∠ADB=90^o

∴

設(shè)BD=3x，則AB=5x，，由勾股定理

而AD=12，∴x=3

∴BD=9，AB=15

∵MB平分∠AME，∴BE=AB=15

∴DE=BE-BD=6

∵ND∥ME，∴∠BND=∠BME，又∵∠NBD=∠MBE

∴△BND∽△BME，則

設(shè)ME=x，則ND=12-x，，解得x=

∴S=ME?DE=×6=45