Question

（本題12分）已知兩直線，分別經過點A(3，0)，點B(－1，0)，并且當兩直線同時相交于y負半軸的點C時，恰好有，經過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線交于點D，如圖所示。

（1）求拋物線的函數解析式；
（2）當直線繞點C順時針旋轉一個銳角時，它與拋物線的另一個交點為P(x，y)，求四邊形APCB面積S關于x的函數解析式，并求S的最大值；
（3）當直線繞點C旋轉時，它與拋物線的另一個交點為P，請找出使△PCD為等腰三角形的點P，并求出點P的坐標。

Answer 1

（1）可由兩角相等證得：△BOC∽△COA。
得，即，
∴，
∴C(0，－)
設，把(0，－)代入，得a＝，
∴拋物線的函數解析式為
（2）
（0＜x＜3）
當x＝時，S的最大值是
（3）可得直線為，直線為，
拋物線的對稱軸為，拋物線頂點為(1，)，由此得D(1，)
① 以點D為圓心，線段DC長為半徑畫弧，交拋物線于點，由拋物線對稱性可知點為點C關于直線的對稱點，
∴點(2，)，此時△為等腰三角形；
② 當以點C為圓心，線段CD長為半徑畫弧時，與拋物線交點為點和點B，而三點B、C、D在同一直線上，不能構成三角形；
③ 作線段DC的中垂線，交CD于點M，交拋物線于點P₂，P₃，交y軸于點F，
因為BO＝1，，所以∠MCF＝∠OCB＝30°，
而CD＝2，CM＝CD＝1，則CF＝，OF＝，
則F(0，)，因∥，所以直線為，
代入，解得x＝1或x＝2，
說明P₂就是頂點(1，)，
P₃就是P₁(2，)
綜上所述，當點P為(－2，)或(1，)時，△PCD為等腰三角形。

試題分析：（1）由兩組底腳相等，推導出兩個三角形相似，從而確立C點坐標，再結合AB兩點的坐標，可以求得二次函數解析式。
（2）由于繞C點運動，因此P的坐標設為(x,y)，四邊形面積可以寫為，無未知量，和可以由的高分別為-y和x，又P點為拋物線上一點，所以可以算出y和x的關系式，進而求出S與x的函數式。由于解出來的函數為二次函數，x的取值范圍已知，求出函數對稱軸，得出函數對稱軸在此范圍內，所以要求最大值，實際上則是代入對稱軸所對應的x值，可得出S。
（3）通過分類討論，各種不同的情況所對應的等腰三角形也不相同，由已知條件可以推導出兩條直線的方程，結合函數圖像，可以得出P點的坐標。
點評：一般試卷最后一道題都是綜合性的題目，學生需要掌握幾何圖形以及函數圖形、函數表達式的知識，從而將復雜的題目簡單化，進而可以求出一些未知量。