Question

如圖，在平面直角坐標系中，半徑分別為3

3

和

3

的⊙O₁和⊙O₂外切于原點O，在x軸上方的兩圓的外公切線AB與⊙O₁和⊙O₂分別切于點A、B，直線AB交y軸于點C．O₂D⊥O₁A于點D．
（1）求∠O₁O₂D的度數(shù)；
（2）求點C的坐標；
（3）求經(jīng)過O₁、C、O₂三點的拋物線的解析式；
（4）在拋物線上是否存在點P，使△PO₁O₂為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）連接O₂B，

易證四邊形ADO₂B為矩形
在Rt△O₂DO₁中，
O₁D=2

3

，O₁O₂=4

3

則∠O₁O₂D=30°，O₂D=6；

（2）由（1）得AB=O₂D=6
又∵AB、OC是⊙O₁、⊙O₂的切線
∴OC=AC=BC=3
∴點C的坐標為（0，3）

（3）由圖知：O₁、O₂點的坐標為（-3

3

，0）、（

3

，0）
設(shè)過點O₁、O₂、C三點的拋物線的解析式為
y=ax²+bx+c
則有：

27a-3 3 b+c=0 3a+ 3 b+c=0 3=c

解之得：a=-

1

3

b=-

2

3

3

c=3
故拋物線的解析式為：y=-

1

3

x²+-

2

3

3

x+3

（4）存在
點C顯然滿足條件．
又根據(jù)拋物線的對稱性知，點C關(guān)于x=-

3

的對稱點也滿足條件
即P點的坐標為（0，3）、（-2

3

，3）．