Question

數學家們通過長期的研究，得到了關于“等周問題”的重要結論：在周長相同的所有封閉平面曲線中，以圓所圍成的面積最大．
“等周問題”雖然較為繁雜，但其根本思想基于下面2個事實：
事實1：等周長n邊形的面積，當圖形為正n邊形時，其面積最大；
事實2：等周長n邊形的面積，當邊數n越大時，其面積也越大．
為了理解這些事實的合理性，曙光數學小組走出校門展開了下列課題研究．請你幫助他們解決其中的一些問題．
現有長度為100m的籬笆（可彎曲圍成一個區(qū)域）．
（1）如果用籬笆圍成一個長方形雞場，怎樣圍才能使雞場的面積最大？為什么？
（2）如果用籬笆圍成一個正五邊形雞場，那么與（1）中的正方形雞場比較，哪個面積更大？請在事實1的基礎上證明事實2：“等周長n邊形的面積，當邊數n越大時，其面積也越大．”
（3）利用事實1和事實2，請對“等周問題”的重要結論作出較為合理的解釋．
（4）愛動腦筋的小明提出一個問題：如果借用一條充分長的直墻，將籬笆圍成一個四邊形雞場，為了使雞場的面積盡量大，所圍成的長方形雞場的長是寬的2倍（如圖）．你覺得他講的是否有道理？你有沒有更好的方法，使圍成的四邊形雞場的面積更大？如果有，請說明你的方法．

Answer 1

解：（1）設長為xm，寬為（50-x）m，則S=x•（50-x）=-（x-25）²+625，所以當每條邊長為25m時，才能使長方形雞場的面積最大；

（2）正五邊形雞場面積更大；
對于事實2，我們給出下述證明：

如圖1、2，設正n邊形A₁A₂A_n與正（n+1）邊形A₁A₂A_n+1的周長相等，下面我們證明＜．在邊A₁A₂上任取一點（異于點A₁、A₂），這樣我們可以把A₁A₂A_n看成是（n+1）邊形A₁CA₂A_n，但它顯然不是正（n+1）邊形，它的周長與正（n+1）邊形A₁A₂A_n+1的周長相等，根據事實1，＜，即＜．
所以，等周長n邊形的面積，當邊數n越大時，其面積也越大；

（3）在周長相同的情況下，曲線圍成正多邊形面積較大；
正多邊形的邊數越大，圖形越接近于圓，面積也越大，當邊數無限增大時，正多邊形無限地接近于圓，面積越來越接近于一個固定的值，這個值就是所圍成的圓的面積；

（4）他講的有道理．
設寬為xm，長為（100-2x）m，
則S=x•（100-2x）=-2（x-25）²+1250，
所以當長為寬的2倍時，才能使長方形雞場的面積最大．
有更好的方法：

如圖4，如果將圖1中的點A、D分別向外移動．
那么ABCD仍然是四邊形，而將四邊形沿墻反射過來，這樣就得到一個新的封閉六邊形BCDC′B′A，它的周長等于原籬笆長度的兩倍．
所以當六邊形BCDC′B′A為正六邊形，即AB=BC=CD，且∠BAD=∠CDA=60°，∠ABC=∠DCB=120°時，六邊形BCDC′B′A的面積最大．
因而其一半即四邊形ABCD的面積也最大．由于周長相等，
因此圖4中正六邊形BCDC′B′A的面積大于圖3中正方形BCC′B′的面積，
所以圖4中四邊形ABCD的面積大于圖3中四邊形ABCD的面積．
分析：（1）設一邊的長為x，用它表示另一邊及面積，運用函數性質求解；
（2）、（3）可運用割圓術的思路，在某一個多邊形的基礎上把一邊分成兩邊，細化下去便是圓；
（4）由（1）知小明講的有道理．
點評：此題檢測學生理解知識和運用知識的能力，考查學生的自主學習能力，因為理論性較強，所以宜作競賽題使用．