Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AB∥DE，AF∥DC，E，F(xiàn)兩點在邊BC上．
（1）若AE∥DF，如圖1，則四邊形AEFD是否是矩形？請說明理由．
（2）若AB=AD，∠B=40°，如圖2，求∠EAF的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）四邊形AEFD為矩形，
證明：∵AD∥BC，AE∥DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
又AD∥BC，AB∥DE，∴四邊形ABED為平行四邊形，
∴AB=DE，
∵AD∥BC，AF∥DC，∴四邊形AFCD為平行四邊形，
∴CD=AF，
又AB=CD，∴DE=AF，
∴四邊形AEFD為矩形；

（2）由（1）得四邊形ABED為平行四邊形，
∴AD=BE，又AD=AB，
∴BE=AB，又∠B=40°，
∴∠BAE=∠BEA==70°，
由四邊形ABCD是梯形且AB=CD，即四邊形ABCD為等腰梯形，
∴∠C=∠B=40°，
又AF∥DC，∴∠AFE=∠C=40°，
則∠EAF=∠BEA-∠AFE=30°．
分析：（1）由兩組對邊互相平行的四邊形為平行四邊形，得到AEFD為平行四邊形，然后由兩組對邊平行的四邊形判斷得到四邊形ABED與AFCD都為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對邊相等，得到AB與DE相等，AF與CD相等，又AB與DC相等，等量代換得到AF與ED相等，根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形即可得證；
（2）由（1）得到的四邊形ABED為平行四邊形得到AD與BE相等，又AB與AD相等，等量代換得到AB與AE相等，根據(jù)等邊對等角，由∠B的度數(shù)求出∠AEB的度數(shù)，又此梯形為等腰梯形，故∠B與∠C相等，根據(jù)AF∥DC，得到一對同位角∠AFB與∠C相等，得到∠AFB的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，即可求出∠EAF的度數(shù)．
點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)及矩形的判定．第一問證明矩形的思路為先證明四邊形為平行四邊形，然后再證有一個角為直角或?qū)�角線相等；也可以證明四邊形的三個角為直角，要根據(jù)題意選擇合適的證明方法．第二問求角的思路是通過角度的轉(zhuǎn)換，利用“構(gòu)造外角法”解決問題．