Question

如圖，P、Q分別為四邊形ABCD的邊BC，AD上的點(diǎn)，且

AQ

QD

=

BP

PC

=

AB

CD

，求證：直線PQ與AB之間的夾角等于直線PQ與CD之間的夾角．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線分線段成比例

專題：證明題

分析：要證明夾角相等，題目中的線段太分散，可以把線段進(jìn)行集中，如圖，將CD平移到C′A的位置，則AC′∥DC，且AC′=DC，過點(diǎn)P作CC′的平行線交BC′于點(diǎn)R，可得到AR平分∠BAC′，再結(jié)合條件證明∠BEP=∠BAR=∠RAC′=∠PFC，可得出結(jié)論．

解答：證明：
如圖，將CD平移到C′A的位置，則AC′∥DC，且AC′=DC，
過點(diǎn)P作CC′的平行線交BC′于點(diǎn)R，則BR：RC′=BP：PC=AB：CD=AB：AC，
∴AR平分∠BAC′，
又RP∥CC′，且BP：PC=AQ：QD，
∴RP：CC′=BP：BC=AQ：AD，
而CC′∥AD，且CC′=AD，
∴RP∥AQ，且RP=AQ，
∴AR∥FP，
又AC′∥DC，且AR平分∠BAC′，
∴∠BEP=∠BAR=∠RAC′=∠PFC，
即直線PQ與AB之間的夾角等于直線PQ與CD之間的夾角．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行線分線段成比例，把題目中的線段集中到一點(diǎn)利用平行得到要求的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．