Question

已知，AB是⊙O的直徑，AB=8，點C在⊙O的半徑OA上運動，PC⊥AB，垂足為C，PC=5，PT為⊙O的切線，切點為T．
（1）如圖（1），當C點運動到O點時，求PT的長；
（2）如圖（2），當C點運動到A點時，連接PO、BT，求證：PO∥BT；
（3）如圖（3），設(shè)PT²=y，AC=x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及y的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OT，根據(jù)題意，由勾股定理可得出PT的長；
（2）連接OT，則OP平分劣弧AT，則∠AOP=∠B，從而證出結(jié)論；
（3）設(shè)PC交⊙O于點D，延長線交⊙O于點E，由相交弦定理，可得出CD的長，再由切割線定理可得出y與x之間的關(guān)系式，進而求得y的最小值．
解答：（1）解：連接OT
∵PC=5，OT=4，
∴由勾股定理得，PT===3；

（2）證明：連接OT，∵PT，PC為⊙O的切線，
∴OP平分劣弧AT，
∴∠POA=∠POT，
∵∠AOT=2∠B，
∴∠AOP=∠B，
∴PO∥BT；

（3）解：設(shè)PC交⊙O于點D，延長線交⊙O于點E，
由相交弦定理，得CD²=AC•BC，
∵AC=x，∴BC=8-x，
∴CD=，
∴由切割線定理，得PT²=PD•PE，
∵PT²=y，PC=5，
∴y=[5-][5+]，
∴y=25-x（8-x）=x²-8x+25，
∴y_最小==9．
點評：本題是一道綜合題，考查了切線的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值以及勾股定理的內(nèi)容，是中考壓軸題，難度較大．