Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y₁=k₁x+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y2=

k2

x

（x＞0）的圖象交于A（1，4），B（3，m）兩點．
（1）試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；
（2）在第一象限內(nèi)，x取何值時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）把A（1，4）代入數(shù)y2=

k2

x

即可求出反比例函數(shù)的解析式，把B的坐標(biāo)代入即可求出B的坐標(biāo)，把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，得出方程組，求出方程組的解，即可得出一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象和A、B的坐標(biāo)即可得出答案；
（3）過A作AE⊥ON于E，過B作BF⊥OM于F，求出M、N的坐標(biāo)，根據(jù)S_△AOB=S_△NOM-S_△AON-S_△BOM代入即可求出△AOB的面積．

解答：解：（1）把A（1，4）代入數(shù)y2=

k2

x

（x＞0）得：4=

k2

1

，
解得：k₂=4，
即反比例函數(shù)的解析式是：y₂=

4

x

，
把B（3，m）代入上式得：m=

4

3

，
即B（3，

4

3

），
把A、B的坐標(biāo)代入y₁=k₁x+b（k≠0）得：

4=k1+b 4 3 =3k1+b

，
解得：k=-

4

3

，b=

16

3

，
∴一次函數(shù)的解析式是：y₁=-

4

3

x+

16

3

；

（2）從圖象可知：在第一象限內(nèi)，x取1＜x＜3時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值；

（3）過A作AE⊥ON于E，過B作BF⊥OM于F，
∵A（1，4），B（3，

4

3

），
∴AE=1，BF=

4

3

，
∵設(shè)直線AB（y₁=-

4

3

x+

16

3

）交y軸于N，交x軸于M，
當(dāng)x=0時，y=

16

3

，
當(dāng)y=0時，x=4，
即ON=

16

3

，OM=4，
∴S_△AOB=S_△NOM-S_△AON-S_△BOM
=

1

2

×

16

3

×4-

1

2

×

16

3

×1-

1

2

×4×

4

3

=

16

3

．

點評：本題考查了三角形的面積，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式等知識點，本題具有一定的代表性，是一道比較好的題目．