Question

【題目】如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為(8，8)，將正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α(0°＜α＜90°)，得到正方形CDEF，ED交線段AB于點(diǎn)G，ED的延長(zhǎng)線交線段OA于點(diǎn)H，連CH、CG．

(1)求證：△CBG≌△CDG；

(2)求∠HCG的度數(shù)；判斷線段HG、OH、BG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)連結(jié)BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形AEBD能否為矩形？如果能，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)∠HCG=45°，HG= HO+BG，理由見(jiàn)解析；(3)四邊形AEBD可為矩形，H點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0)

【解析】

（1）求證全等，觀察兩個(gè)三角形，發(fā)現(xiàn)都有直角，而CG為公共邊，進(jìn)而再鎖定一條直角邊相等即可，因?yàn)槠錇檎�方形旋轉(zhuǎn)得到，所以邊都相等，即結(jié)論可證．
（2）上問(wèn)的結(jié)論，本題一般都要使用才能求出結(jié)果．所以由三角形全等可以得到對(duì)應(yīng)邊、角相等，即BG=DG，∠DCG=∠BCG．同第一問(wèn)的思路你也容易發(fā)現(xiàn)△CDH≌△COH，也有對(duì)應(yīng)邊、角相等，即OH=DH，∠OCH=∠DCH．于是∠GCH為四角的和，四角恰好組成直角，所以∠GCH=90°，且容易得到OH+BG=HG．
（3）四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對(duì)角線互相平分，合適的點(diǎn)只有G為AB中點(diǎn)的時(shí)候．由上幾問(wèn)知DG=BG，所以此時(shí)同時(shí)滿足DG=AG=EG=BG，即四邊形AEBD為矩形．求H點(diǎn)的坐標(biāo)，可以設(shè)其為（x，0），則OH=x，AH=6-x．而BG為AB的一半，所以DG=BG=AG=3．又由（2），HG=x+3，所以Rt△HGA中，三邊都可以用含x的表達(dá)式表達(dá)，那么根據(jù)勾股定理可列方程，進(jìn)而求出x，推得H坐標(biāo)．

(1)∵正方形ABCO繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到正方形CDEF，

∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．

在Rt△CDG和Rt△CBG中，

,，

∴△CDG≌△CBG(HL)

(2)∵△CDG≌△CBG，

∴∠DCG=∠BCG，DG=BG．

在Rt△CHO和Rt△CHD中，

∵，

∴△CHO≌△CHD(HL)，

∴∠OCH=∠DCH，OH=DH，

∴∠HCG=∠HCD+∠GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°，

∴HG=HD+DG=HO+BG

(3)四邊形AEBD可為矩形．

如圖，連接BD、DA、AE、EB，

四邊形AEBD若為矩形，則需先為平行四邊形，即要對(duì)角線互相平分，合適的點(diǎn)只有G為AB中點(diǎn)的時(shí)候．

∵DG=BG，

∴DG=AG=EG=BG，即平行四邊形AEBD對(duì)角線相等，則其為矩形，

∴當(dāng)G點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEBD為矩形．

∵四邊形DAEB為矩形，

∴AG=EG=BG=DG．

∵AB=8，

∴AG=BG=4．

設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，0)，則HO=x

∵OH=DH，BG=DG，

∴HD=x，DG=4．

在Rt△HGA中，

∵HG=x+4，GA=4，HA=8﹣x，

∴(x+4)2=42+(8﹣x)2 ， 解得x= ．

∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)．