Question

某拋物線是由拋物線y=-2x²向左平移2個單位得到．
（1）求拋物線的解析式，并畫出此拋物線的大致圖象；
（2）設拋物線的頂點為A，與y軸的交點為B．
①求線段AB的長及直線AB的解析式；
②在此拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△ABC為等腰三角形？若存在，求出這樣的點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）y=-2（x+2）²，如圖：

（2）①根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式可得：A點的坐標為（-2，0）；B點的坐標為（0，-8）．
因此在直角三角形ABO中，根據(jù)勾股定理可得：AB=2．
設直線AB的解析式為y=kx-8，已知直線AB過A點，
則有：0=-2k-8，k=-4
因此直線AB的解析式為：y=-4x-8；
②存在四個點，C₁（-2，2），C₂（-2，-2），C₃（-2，-16），C₄（-2，-）．
分析：（1）拋物線y=-2x²向左平移2個單位所得的拋物線的解析式應該是y=-2（x+2）²．
（2）①根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式，即可得出其頂點A和B點的坐標．然后根據(jù)A，B兩點的坐標即可求出直線AB的解析式．
②本題要分三種情況進行討論：
一：當AC=BC時，此時C為AB垂直平分線與拋物線對稱軸的交點．過B作BD⊥拋物線的對稱軸于D，那么在直角三角形BDC中，BD=2（A點橫坐標的絕對值），CD=8-AC，而BC=AC，由此可根據(jù)勾股定理求出AC=，因此這個C點的坐標為（-2，）．

二：當AB=AC時，此時C點的縱坐標的絕對值即為AB的長，因此C點的坐標為C₁（-2，2），C₂（-2，-2）．
三：當AB=BC時，B點位于AC的垂直平分線上，因此C點的縱坐標為B點的縱坐標的2倍，即C（-2，-16）．
綜上所述即可求出符合條件的C點的坐標．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移及等腰三角形的構成情況等知識點，主要考查學生分類討論、數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．