Question

2012年廣東陸豐漁政大隊(duì)指揮中心（A）接到海上呼救：一艘韓國(guó)貨輪在陸豐碣石灣發(fā)生船體漏水，進(jìn)水速度非常迅猛，情況十分危急，18名船員需要援救．經(jīng)測(cè)量貨輪B到海岸最近的點(diǎn)C的距離BC=20km，∠BAC=22°37′，指揮中心立即制定三種救援方案
（如圖1）：

①派一艘沖鋒舟直接從A開(kāi)往B；②先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點(diǎn)C，然后再派沖鋒舟前往B；③先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到距指揮中心33km的點(diǎn)D，然后再派沖鋒舟前往B．
已知沖鋒舟在海上航行的速度為60km/h，汽車在海岸線上行駛的速度為90km/h．
（sin22°37′=

5

13

，cos22°37′=

12

13

，tan22°37′=

5

12

）
（1）通過(guò)計(jì)算比較，這三種方案中，哪種方案較好（汽車裝卸沖鋒舟的時(shí)間忽略不計(jì)）？
（2）事后，細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)，上面的三種方案都不是最佳方案，最佳方案應(yīng)是：先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點(diǎn)P處，點(diǎn)P滿足cos∠BPC=

2

3

（沖鋒舟與汽車速度的比），然后再派沖鋒舟前往B（如圖2）．
①利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)，根據(jù)cos∠BPC=

2

3

，計(jì)算出汽車行AP加上沖鋒舟行BP的總時(shí)間．
②在線段AC上任取一點(diǎn)M；然后用轉(zhuǎn)化的思想，從幾何的角度說(shuō)明汽車行AM加上沖鋒舟行BM的時(shí)間比車行AP加上沖鋒舟行BP的時(shí)間要長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）解直角三角形ABC，可得出AB、AC的長(zhǎng)度，然后分別求出三種方案需要的時(shí)間即可作出比較；
（2）①在Rt△BPC中求出BP、PC的長(zhǎng)度，繼而得出AP的長(zhǎng)度，這樣即可求出汽車行AP加上沖鋒舟行BP的總時(shí)間；
     ②分兩種情況討論，1）當(dāng)點(diǎn)M在AP上時(shí)，2）當(dāng)點(diǎn)M在PC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BP于點(diǎn)H，表示出t_M、t_P，根據(jù)cos∠BPC=

2

3

，可得PH=

2

3

MP，繼而能判斷出汽車行MP的時(shí)間=沖鋒舟行
       PH的時(shí)間，轉(zhuǎn)換后比較即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=20km，∠BAC=22°37′，
∴AB=

BC

sin∠BAC

=

20

5 13

=52km，AC=ABcos∠BAC=52×

12

13

=48km，
方案①需要用時(shí)：

AB

60km/h

=

52

60

小時(shí)=52分鐘，
方案②需要用時(shí)：

AC

90

+

BC

60

=

48

90

+

20

60

小時(shí)=52分鐘，
方案③需要用時(shí)：

33

90

+

(48-33)2+202

60

=47分鐘，
∴方案③較好；
（2）①∵cos∠BPC=

2

3

，
設(shè)PC=2x，BP=3x，則BC=

5x2

=20，
解得：x=4

5

，
即可得PC=8

5

km，BP=12

5

km，
∴AP=AC-PC=（48-8

5

）km，
故可得所用時(shí)間為：

48-8 5

90

+

12 5

60

=

10 5 +48

90

=

5 5 +24

45

小時(shí)；
②

點(diǎn)M為AP上任意一點(diǎn)，汽車開(kāi)到M點(diǎn)放沖鋒舟下水，用時(shí)t_M=

AM

90

+

BM

60

，
汽車開(kāi)到P放沖鋒舟下水，用時(shí)t_P=

AP

90

+

BP

60

，
延長(zhǎng)BP過(guò)M作MH⊥BP于H，
∵cos∠BPC=

2

3

，
∴PH=

2

3

MP，
又∵沖鋒舟在海上航行的速度為60km/h，汽車在海岸線上行駛的速度為90km/h，
∴汽車行MP的時(shí)間=沖鋒舟行PH的時(shí)間，
∴t_P=

AP

90

+

BP

60

=

AM

90

+

BH

60

，
∵BM＞BH，
∴t_M＞t_P；
點(diǎn)M在PC上任意一點(diǎn)時(shí)，過(guò)M作MH⊥BP于H，同理可證：t_M＞t_P．
綜上可得汽車行AM加上沖鋒舟行BM的時(shí)間比車行AP加上沖鋒舟行BP的時(shí)間要長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，及優(yōu)化方案的選擇，難點(diǎn)在最后一問(wèn)，注意判斷出汽車行MP的時(shí)間=沖鋒舟行PH的時(shí)間是突破口，難度較大．