Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．設(shè)P，Q分別為BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P自點(diǎn)D沿DB方向作勻速移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q自點(diǎn)B沿BC方向向點(diǎn)C作勻速移動(dòng)，移動(dòng)的速度均為1cm/s，設(shè)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t≤4）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等腰三角形？
（2）△PBQ能否成為等邊三角形？若能，求t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）此題由3種情況，①?gòu)募僭O(shè)△BPQ是等腰三角形入手．求證△BMP∽△BCD，利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得t的值．
②在Rt△BMP中，利用cos∠DBC=

BM

BP

=

BC

BD

=

4

5

，解得t．
③如圖，當(dāng)BQ=PQ時(shí)，自點(diǎn)Q向BD引垂線，垂足為N．利用Rt△BNQ∽R(shí)t△BCD其對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得t．
（2）若△PBQ為等邊三角形，則BQ=BP=PQ．由②，知當(dāng)BQ=BP時(shí)，t=

5

2

．由①，知當(dāng)BP=PQ時(shí)，t=

40

13

．而BQ=BP與BP=PQ不能同時(shí)成

解答：解：
（1）若△BPQ是等腰三角形．
①如圖，當(dāng)PB=PQ時(shí)，自點(diǎn)P向BC引垂線，
垂足為M，則有BM=MQ．
方法一：
由△BMP∽△BCD，得

BM

BC

=

BP

BD

，
∴BM=

BP•BC

BD

=

(5-t)•4

5

=

20-4t

5

．
∴

20-4t

5

=

t

2

，解得t=

40

13

．
方法二：
在Rt△BMP中，
BP=5-t，BM=

t

2

，cos∠DBC=

BM

BP

=

BC

BD

=

4

5

．
∴

t 2

5-t

=

4

5

，解得t=

40

13

．
②當(dāng)BQ=BP時(shí)，有t=5-t，解得t=

5

2

．
③如圖，當(dāng)BQ=PQ時(shí)，自點(diǎn)Q向BD引垂線，垂足為N．
由Rt△BNQ∽R(shí)t△BCD，得

BN

BC

=

BQ

BD

．
∴

5-t 2

4

=

t

5

，解得t=

25

13

．

（2）不能．
若△PBQ為等邊三角形，則BQ=BP=PQ．
由（2）②，知當(dāng)BQ=BP時(shí)，t=

5

2

．
由（2）①，知當(dāng)BP=PQ時(shí)，t=

40

13

．
∴BQ=BP與BP=PQ不能同時(shí)成立，
∴△PBQ不可能為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，是一道難題．