Question

（2013•丹陽市二模）如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠B=30°，C是弦AB上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點(diǎn)D，連接AD．
（1）弦長AB等于

4

3

（結(jié)果保留根號(hào)）；
（2）當(dāng)∠D等于28°時(shí)，求∠BOD的度數(shù)；
（3）當(dāng)AC的長度等于多少時(shí)，以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似？請寫出解答過程．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，由垂徑定理即可求得AB的長；
（2）連接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，則可求得∠DAB的度數(shù)，又由圓周角等于同弧所對圓心角的一半，即可求得∠DOB的度數(shù)；
（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性質(zhì)即可求得答案．

解答：解：（1）過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，
則AE=BE=

1

2

AB，∠OEB=90°，
∵OB=4，∠B=30°，
∴BE=OB•cos∠B=4×

3

2

=2

3

，
∴AB=4

3

；
故答案為：4

3

；

（2）連接OA，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，
又∵∠B=30°，∠D=28°，
∴∠DAB=58°，
∴∠BOD=2∠DAB=116°；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此時(shí)∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，
即OC⊥AB，
∴AC=

1

2

AB=2

3

．
∴當(dāng)AC的長度為2

3

時(shí)，以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、0為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評：此題考查了垂徑定理，圓周角的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．題目綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．