Question

關(guān)于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0（k是非零整數(shù)）．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），設(shè)y=x₂-x₁-2，判斷y是否為變量k的函數(shù)？如果是，請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的定義得到k≠0，再計(jì)算出判別式得到△=（2k-1）²，根據(jù)k為整數(shù)和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，則根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=

4k+1

k

，x₁•x₂=

3k+3

k

，則根據(jù)完全平方公式變形得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=

(4k+1)2

k2

-

12k+12

k

=

(2k-1)2

k2

=（2-

1

k

）²，由于k為整數(shù)，則2-

1

k

＞0，x₂-x₁=2-

1

k

，從而得出答案．

解答：解：（1）∵k是非零整數(shù)，
∴△=[-（4k+1）]²-4k（3k+3）=16k²+8k+1-12k²-12k=4k²-4k+1=（2k-1）²＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）∵x₁+x₂=

4k+1

k

，x₁•x₂=

3k+3

k

，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=

(4k+1)2

k2

-

12k+12

k

=

(2k-1)2

k2

=（2-

1

k

）²，
∵k為整數(shù)，
∴2-

1

k

＞0，
而x₁＜x₂，
∴x₂-x₁=2-

1

k

，
∴y=2-

1

k

-2
=-

1

k

（k≠0的整數(shù)），
∴y是變量k的函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，注意：ax²+bx+c=0是一元二次方程的條件是a≠0，當(dāng)b²-4ac=0時(shí)，一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，當(dāng)b²-4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，當(dāng)b²-4ac＜0時(shí)，一元二次方程ax²+bx+c=0無(wú)實(shí)數(shù)根．