Question

（2013•豐臺(tái)區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的圓心坐標(biāo)為（-2，-2），半徑為

2

．函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若△POA是等腰三角形，且點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)直線PO與⊙C相切時(shí)，求∠POA的度數(shù)；
（3）當(dāng)直線PO與⊙C相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為E、F，點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，令PO=t，MO=s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法得出A，B坐標(biāo)，進(jìn)而利用①當(dāng)OP=OA時(shí)，②當(dāng)OP=PA時(shí)，③當(dāng)AP=AO時(shí)分別得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用切線的性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出∠POA的度數(shù)；
（3）根據(jù)已知得出△COM∽△POD，進(jìn)而得出MO•PO=CO•DO，即可得出s與t的關(guān)系，進(jìn)而求出t的取值范圍．

解答：解：（1）如圖1，延長CO交AB于D，過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G．
∵函數(shù)y=-x+2圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴x=0時(shí)，y=2，y=0時(shí)，x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴AO=BO=2．
要使△POA為等腰三角形．
①當(dāng)OP=OA時(shí)，P的坐標(biāo)為（0，2），與點(diǎn)B重合，不符合題意，
②當(dāng)OP=PA時(shí)，由∠OAB=45°，所以點(diǎn)P恰好是AB的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），
③當(dāng)AP=AO時(shí)，則AP=2，
過點(diǎn)作PH⊥OA交OA于點(diǎn)H，
在Rt△APH中，則PH=AH=

2

，
∴OH=2-

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2-

2

，

2

）；
所以，若△POA為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），或（2-

2

，

2

）；

（2）如圖2，當(dāng)直線PO與⊙C相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為K，連接CK，
則CK⊥OK．由點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-2），
可得：CO=2

2

．
∵sin∠COK=

CK

CO

=

2

2 2

=

1

2

，
∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，
∴∠POA=75°，
同理可求得∠POA的另一個(gè)值為45°-30°=15°；

（3）如圖3，∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，
∴CM⊥EF，
又∵∠COM=∠POD，CO⊥AB，
∴△COM∽△POD，
所以

CO

PO

=

MO

DO

，即MO•PO=CO•DO．
∵PO=t，MO=s，CO=2

2

，DO=

2

，
∴st=4．
但PO過圓心C時(shí)，MO=CO=2

2

，PO=DO=

2

，
即MO•PO=4，也滿足st=4．
∴s=

4

t

，
∵OP最小值為

2

，當(dāng)直線PO與⊙C相切時(shí)，∠POD=30°，
∴PO=

2

cos30°

=

2 6

3

，
∴t的取值范圍是：

2

≤t＜

2 6

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合分類討論思想得出是解題關(guān)鍵．