Question

6、已知：a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd，且a，b，c，d都是正數(shù)，求證：a=b=c=d．

Answer 1

分析：本題需先根據(jù)已知條件得出a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd=0，然后再進(jìn)行整理，得出（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0，再根據(jù)a，b，c，d都是正數(shù)這個(gè)條件，得出a=b，c=d，a=c，最后得出結(jié)果即可．

解答：證明：由已知可得：a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd=0，
（a²-b²）²+（c²-d²）²+2a²b²+2c²d²-4abcd=0，
所以（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0．
因?yàn)椋╝²-b²）²≥0，（c2-d2）2≥0，（ab-cd）2≥0，
所以a²-b²=c²-d²=ab-cd=0，
所以（a+b）（a-b）=（c+d）（c-d）=0．
又因?yàn)閍，b，c，d都為正數(shù)，
所以a+b≠0，c+d≠0，
所以a=b，c=d．
所以ab-cd=a²-c²=（a+c）（a-c）=0，
所以a=c，
故a=b=c=d成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了整式的等式證明問題，在解題時(shí)要注意采用綜合法方法去證明這是解題的關(guān)鍵．