Question

條 件：如下左圖，A、B是直線同旁的兩個定點．
問 題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最�。�
方 法：作點A關于直線l的對稱點A'，連結(jié)A'B交l于點P，則PA+PB=A'B的值最�。ú槐刈C明）．
模型應用： 

（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點．連結(jié)BD，由正方形對稱性可知，B與D關于直線AC對稱．連結(jié)PE、PB，則PB+PE的最小值是（       ）；
（2）如圖2，的半徑為2，點A、B、C在上，，，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；
（3）如圖3，∠AOB=30°，P是內(nèi)一點，PO=8，Q，R分別是OA、OB上的動點，求周長的最小值．

Answer 1

（1）；
（2）延長AO交于點A′，則點A、點A′關于直線OB對稱，連接A′C與OB相交于點P，連接AC，因為，OA=OC=2，∠AOC=60°，所以△AOC是等邊三角形，所以AC=2，因為AA′=4，，∠ACA′=90°，所以PA+PC=PA′+PC=A′C=，即PA+PC的最小值是；
（3）分別作P點關于OB、OA的對稱點P₁，P₂，連接P₁P₂交OA于點Q，交OB于點R，所以OP=OP₁=OP₂，∠P₁OB=∠POB，∠P₂OA=∠POA，所以∠P₁OP₂=2∠AOB=60°，所以△P₁OP₂是等邊三角形，P₁P₂=OP=8，所以，三角形PQR的周長=PR+PQ+RQ=P₁R+P₂Q+RQ= P₁P₂=8，即△PQR的周長的最小值為8