Question

某工廠有14m長的舊墻一面，現(xiàn)在準(zhǔn)備利用這面舊墻，建造平面圖形為矩形，面積為126m²的廠房，工程條件為：①建1m新墻的費(fèi)用為a元；②修1m舊墻的費(fèi)用為

a

4

元；③拆去1m舊墻，用所得材料建造1m新墻的費(fèi)用為

a

2

元．經(jīng)過討論有兩種方案：（Ⅰ）利用舊墻的一段xm（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；（Ⅱ）矩形廠房利用舊墻的一面邊長為x（x≥14）．問：如何利用舊墻，即x為多少米時(shí)，建墻費(fèi)用最��？（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方案哪個更好？

Answer 1

設(shè)利用舊墻的一面矩形邊長為xm，則矩形的另一邊長為

126

x

m．
（Ⅰ）利用舊墻的一段xm（x＜14）為矩形一面邊長，則修舊墻費(fèi)用為x•

a

4

元，
將剩余的舊墻拆得材料建新墻的費(fèi)用為（14-x）•

a

2

元，其余建新墻的費(fèi)用為（2x+

2×126

x

-14）•a元．
故總費(fèi)用為
y=x•

a

4

+

14-x

2

•a+（2x+

252

x

-14）•a=a（

7

4

x+

252

x

-7）=7a（

x

4

+

36

x

-1）．（0＜x＜14）
∴y≥7a[2

x 4 • 36 x

-1]=35a．當(dāng)且僅當(dāng)

x

4

=

36

x

，即x=12m時(shí)，y_min=35a（元）；
（Ⅱ）若利用舊墻的一面矩形邊長為x≥14，則修舊墻的費(fèi)用為

a

4

•14=

7

2

a元，建新墻的費(fèi)用為（2x+

252

x

-14）a元．
故總費(fèi)用為y=

7

2

a+（2x+

252

x

-14）a=

7

2

a+2a（x+

126

x

-7）（x≥14）．
設(shè)14≤x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，x₁x₂＞196．
則（x₁+

126

x1

）-（x₂+

126

x2

）=（x₁-x₂）（1-

126

x1x2

）
∴函數(shù)y=x+

126

x

在區(qū)間[14，+∞]上為增函數(shù)．
故當(dāng)x=14時(shí)，y_min=

7

2

a+2a（14+

126

14

-7）=35.5a＞35a．
綜上討論可知，采用第（Ⅰ）方案，建墻總費(fèi)用最省，為35a元．