Question

如圖，已知拋物線y=a（x+1）（x-3）（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)．

（1）若將直線y=kx向下平移3個(gè)單位長度后，直線恰好經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，若P、Q兩點(diǎn)在圖1拋物線對稱軸上（P點(diǎn)在Q點(diǎn)上方），且∠PAQ=∠ACB，請求出其中符合條件的一組P，Q的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)AC⊥BC時(shí)，
①求a的值；
②如圖2過C點(diǎn)作x軸平行線，若M點(diǎn)為該平行線上C點(diǎn)右側(cè)一動點(diǎn)，做AM⊥MF，MF與CB或其延長線相交于F點(diǎn)，試判斷

MF

AM

是否為定值？若是請求出該值，若不是請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直線y=kx向下平移3個(gè)單位長度后經(jīng)過BC，則C點(diǎn)向上平移3個(gè)單位應(yīng)為y=kx與y軸的交點(diǎn)（0，0），所以C點(diǎn)為（0，-3）．將C點(diǎn)代入y=a（x+1）（x-3），即可求出a的值，則拋物線解析式可得．
（2）由∠C=∠ACO+∠OCB，所以在A點(diǎn)處構(gòu)造2個(gè)分別等于∠ACO和∠OCB的角即可．如過A做∠PAO=∠ACO，∠QAO=∠OCB，此時(shí)記PQ與x軸的交點(diǎn)為N，則有△APN∽△CAO，△ANQ∽△COB．因?yàn)橐阎獟佄锞�的解析式，則A、B、C、N點(diǎn)易求，由邊成比例即可得PN，QN，則P、Q點(diǎn)坐標(biāo)易求．
（3）①對y=a（x+1）（x-3），發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=-1和x=3時(shí)，y的值都為0，即無論a為何值，拋物線必過A（-1，0），B（3，0）．由AC⊥BC，AB⊥OC，易得三角形相似，則可通過比例得到OC邊長，即得C點(diǎn)坐標(biāo)．此時(shí)同（1），代入可求a．
     ②討論

MF

AM

的值，發(fā)現(xiàn)AM⊥FM，可以考慮連接AF，則M點(diǎn)必在以AF為直徑的圓上．又AC⊥BC，若△ACB∽△FAM，則

MF

AM

比為定值，且可根據(jù)△ACB求得．觀察圖2，在圓中等弧對等角，發(fā)現(xiàn)∠BAC所對弧為弧NMC，∠AFM所對弧為弧ACM．而弧NMC=劣弧NM+劣弧CM，弧ACM=劣弧AC+劣弧CM，且劣弧NM，劣弧AC同為平行弦AN，CM截圓的弧，即相等，所以角相等，相似成立，進(jìn)而可求比例定值．

解答：解：（1）∵直線y=kx，當(dāng)x=0時(shí)，y=0．
∴直線y=kx過O（0，0）．
∵直線y=kx向下平移3個(gè)單位長度后經(jīng)過BC
∴C點(diǎn)向上平移3個(gè)單位為O（0，0）．
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）．
∵y=a（x+1）（x-3）過C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
解得a=1．
整理得，拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）如圖1，過A做∠PAO=∠ACO，∠QAO=∠OCB，此時(shí)∠PAQ=∠ACB，記PQ與x軸的交點(diǎn)為N．

∵拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），PQ在x=1上，N（1，0）．
在△APN和△CAO中，

∠PAN=∠ACO ∠ANP=∠COA

，
∴△APN∽△CAO．
同理，△ANQ∽△COB．
∴

PN

AN

=

AO

CO

，

NQ

AN

=

OB

CO

．
∵AN=2，AO=1，CO=3，OB=3，
∴PN=

2

3

，NQ=2．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

2

3

），Q點(diǎn)坐標(biāo)（1，-2）．

（3）①∵對拋物線y=a（x+1）（x-3），當(dāng)x=-1時(shí)，y=0，當(dāng)x=3時(shí)，y=0．
∴拋物線y=a（x+1）（x-3）必過A（-1，0），B（3，0），
∴AO=1，OB=3．
∵∠ACB-90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°．
∵∠BOC=90°．
∴∠ABC+∠OCB=90°，
∴∠OAC=∠OCB．
在△AOC和△COB中，

∠OAC=∠OCB ∠AOC=∠COB

，
∴△AOC∽△COB，
∴

AO

OC

=

CO

OB

，
∴CO=

3

（負(fù)值舍去），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

3

）．
∵y=a（x+1）（x-3）過C（0，-

3

），
∴-

3

=a（0+1）（0-3），
解得，a=

3

3

．

②

MF

AM

為定值，理由如下：
如圖2，連接AF，以AF為直徑作圓，由AC⊥BC，AM⊥MF，此時(shí)C，M都在圓上．

∵AN∥CM，
∴

AC

=

NM

，
∴

AC

+

CM

=

NM

+

CM

，
∴

ACM

=

NMC

，
∴∠AFM=∠BAC．
在△AFM和△BAC中，

∠AFM=∠BAC ∠AMF=∠BCA=90°

，
∴△AFM∽△BAC，
∴

MF

AM

=

CA

BC

．
在Rt△AOC和Rt△OBC中
∵AO=1，OC=

3

，OB=3，
∴AC=2，BC=2

3

，
∴

MF

AM

=

2

2 3

=

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了點(diǎn)平移及函數(shù)圖象上點(diǎn)的性質(zhì)，對特殊函數(shù)求其是否過定點(diǎn)及定點(diǎn)坐標(biāo)是常規(guī)考點(diǎn)．對（2）、（3）問還要結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)、三角形相似、圓周角等知識，是一道綜合性很強(qiáng)的題目．