Question

如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AF平分∠BAC，交BD于點(diǎn)F．

（1）求證：；
（2）點(diǎn)A₁、點(diǎn)C₁分別同時(shí)從A、C兩點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度運(yùn)動(dòng)相同的時(shí)間后同時(shí)停止，如圖，A₁F₁平分∠BA₁C₁，交BD于點(diǎn)F₁，過點(diǎn)F₁作F₁E⊥A₁C₁，垂足為E，請(qǐng)猜想EF₁，AB與三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)A₁E₁=6，C₁E₁=4時(shí)，求BD的長．

Answer 1

（1）證明：過F作FG⊥AB于G，

∵AF平分∠CAB，F(xiàn)O⊥AC，F(xiàn)G⊥AB，
∴OF=FG，
∵∠AOF=∠AGF=90°，AF=AF，OF=FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO=AG，
直角三角形BGF中，∠DBA=45°，
∴FG=BG=OF，
∴AB=AG+BG=AO+OF=AC+OF，
∴AB-OF=AC．

（2）解：過F₁作F₁G₁⊥A₁B，過F₁作F₁H₁⊥BC₁，則四邊形F₁G₁BH₁是矩形．
同（1）可得EF₁=F₁G，因此四邊形F₁G₁BH₁是正方形．
∴EF₁=G₁F₁=F₁H₁，
即：F₁是三角形A₁BC₁的內(nèi)心，
∴EF₁=（A₁B+BC₁-A1C1）÷2…①
∵A₁B+BC₁=AB+A₁A+BC-CC₁，而CC₁=A₁A，
∴A₁B+BC₁=2AB，
因此①式可寫成：EF₁=（2AB-A₁C₁）÷2，
即AB-EF1=A₁C₁．

（3）解：由（2）得，F(xiàn)₁是三角形A₁BC₁的內(nèi)心，且E₁、G₁、H₁都是切點(diǎn)．
∴A₁E=（A₁C₁+A₁B-BC₁）÷2，
如果設(shè)CC₁=A₁A=x，
A₁E=[A₁C₁+（AB+x）-（AB-x）]÷2=（10+2x）÷2=6，
∴x=1，
在直角三角形A₁BC₁中，根據(jù)勾股定理有A₁B²+BC₁²=AC₁²，
即：（AB+1）²+（AB-1）²=100，
解得AB=7，
∴BD=7．
分析：（1）可通過構(gòu)建全等三角形來求解，過F作FG⊥AB于G，那么可通過角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出OF=FG，通過全等三角形AOF和AGF可得出AO=AG，那么AB=AO+OF，而AC=2OA，由此可得證；
（2）本題作輔助線的方法與（1）類似，過F₁作F₁G₁⊥AB，F(xiàn)₁H₁⊥BC，那么可證得四邊形F₁G₁BH₁是正方形，EF₁=F₁G₁=F₁H₁，那么可得出F₁就是三角形A₁BC₁的內(nèi)心，根據(jù)直角三角形的內(nèi)心公式可得出EF₁=（A₁B+BC₁-A₁C₁）÷2，然后根據(jù)用AB分別表示出A₁B，BC₁，最后經(jīng)過化簡即可得出AB-EF₁=A₁C₁；
（3）求BD的長，首先要求出AB的長，本題可借助（2）中，F(xiàn)₁是三角形A₁BC₁的內(nèi)心來解，那么我們不難看出E、G₁、H₁都應(yīng)該是切點(diǎn)，根據(jù)切線長定理不難得出A₁E+A₁G₁=A₁C₁+A₁B-C₁E-BG₁，由于C₁E=C₁H₁，BG₁=BH₁，A₁E=A₁G₁因此式子可寫成2A₁E=A₁C₁+A₁B-BC₁，而（A₁B-BC₁）正好等于2A₁A，由此可求出A₁A的長，那么可根據(jù)勾股定理用AB表示出兩條直角邊，求出AB的長，然后即可得出BD的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)接圓與內(nèi)心等知識(shí)點(diǎn)，要注意的是后兩問中，結(jié)合圓的知識(shí)來解會(huì)使問題更簡單．