Question

已知點(diǎn)P是直線（＞0，）上一定點(diǎn)，點(diǎn)A是軸上一動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），連結(jié)PA，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥PA，交軸于點(diǎn)B，探究線段PA與PB 的數(shù)量關(guān)系.
小題1:如圖（1），當(dāng)PA⊥軸時(shí)，觀察圖形發(fā)現(xiàn)線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系是__________；
小題2:當(dāng)PA與軸不垂直時(shí)，在圖（2）中畫出圖形，線段PA與PB 的數(shù)量關(guān)系是否與（Ⅰ）所得結(jié)果相同？寫出你的猜想并加以證明；
小題3:為何值時(shí)，線段PA=PB？此時(shí)∠POA的度數(shù)是多少，為什么？

Answer 1

小題1:PA=PB.                                          ……2分
小題2:如圖2，過(guò)P 作PC⊥軸于C，PD⊥軸于D，設(shè)P（，）.
∵∠BPD+∠DPA=∠APB=90°，∠APC+∠DPA=∠CPD=90°，
∴∠APC=∠BPD.∴Rt△APC∽R(shí)t△BPD.                 ……4分
∴.∴.∴PA=PB.              ……6分
小題3:當(dāng)=1時(shí)，PA=PB，此時(shí)∠POA=45°或∠POA=135°.……8分
這是因?yàn)?由（Ⅱ）得PA=PB，所以當(dāng)=1時(shí)，PA=PB.
此時(shí)Rt△APC≌Rt△BPD，∴PC=PD，
即點(diǎn)P到軸、軸的距離相等，所以直線（=1）平分一、三象限的夾角.
∴∠POA=45°或∠POA=135°（如圖3）.                 ……10分

(I)根據(jù)OAPB是矩形從而得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，并把它代入到正比例函數(shù)中得出結(jié)論；
（II）過(guò)P點(diǎn)作PC⊥軸于C，PD⊥軸于D，證明出Rt△APC∽R(shí)t△BPD.從而得出，即PA=PB；
（III）如果PA=PB，即k=1，那么分A點(diǎn)在x軸正負(fù)半軸兩種情況得出∠POA的度數(shù)。