Question

若關(guān)于x的一元二次方程m²x²-（2m-3）x+1=0的兩實數(shù)根為x₁、x₂，且x₁+x₂=

2m-3

m2

，x₁•x₂=

1

m2

，兩實數(shù)根的倒數(shù)和是S．
求：（1）m的取值范圍；（2）S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為一元二次方程m²x²-（2m-3）x+1=0的兩實數(shù)根，所以△≥0，又因為此方程為一元二次方程，二次項系數(shù)不能為零．
（2）先用代數(shù)式表示兩實數(shù)根的倒數(shù)和，然后將此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，再用m的取值范圍確定S的取值范圍．

解答：解：（1）∵b²-4ac=-12m+9≥0，
∴m≤

3

4

，
又∵m²≠0，
∴m≤

3

4

且m≠0；

（2）S=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=2m-3
∴m=

S+3

2

，
即

S+3

2

≤

3

4

，
∴S≤-

3

2

，
又∵m≠0即

S+3

2

≠0，
∴S≠-3
∴S≤-

3

2

且S≠-3．

點評：將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
易錯易混點：很多學(xué)生很容易根據(jù)△≥0來確定m的取值范圍，而疏忽了二次項系數(shù)不能為零的條件．