Question

在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過A點作AE⊥BD，垂足為點E，若ED=3OE，AE=

3

，則BD的長為

 

．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng)如圖1所示時，矩形的對角線相等互相平分可得OB=OD，然后求出OE=BE，然后判斷出△ABO是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出邊長AB即OB的長，然后根據(jù)BD=2OB計算即可得解；當(dāng)如圖2所示時，根據(jù)ED=3OE可知OD=4OE，設(shè)OE=x，則ED=3x，故OA=OD=4x，在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理求出x的值，進而可得出結(jié)論．

解答：解：如圖1，在矩形ABCD中，OB=OD，
∵ED=3OE，
∴OE=BE，
∴AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
又∵OA=OB，
∴△ABO是等邊三角形，
∵AE=

3

，
∴OB=AB=

3

÷

3

2

=2，
∴BD=2OB=2×2=4．
如圖2所示，
∵ED=3OE，
∴OD=4OE，
設(shè)OE=x，則ED=3x，OA=OD=4x，
在Rt△AOE中，
∵AE=

3

，AO=4x，OE=x，
∴x²+（

3

）²=（4x）²，解得x=

5

5

，
∴BD=8x=

8 5

5

．
故答案為：4或

8 5

5

．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，主要利用了矩形的對角線相等且互相平分的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．