Question

如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PBC為割線，∠APC的平分線PF交AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：AE=AF；
（2）若PB：PA=1：2，M是上的點(diǎn)，AM交BC于D，且PD=DC，試確定M點(diǎn)在BC上的位置，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）證明：∵PF平分∠APC，
∴∠1=∠2，
又∵PA是⊙O的切線，
∴∠C=∠PAB．
∵∠AEF=∠1+∠PAB，∠AFE=∠2+∠C，
∴∠AEF=∠AFE，即AE=AF．

（2）解：M點(diǎn)在的中點(diǎn)上，
證明：∵PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PBC為割線，
∴PA²=PB×PC，
∵PB：PA=1：2，
假設(shè)PB=x，PA=2x，
∴4x²=x•PC，
∴PC=4x，
∵PD=DC，
∴PD=DC=2x，
∴PA=PD，
又∵∠1=∠2，
∴PN⊥AD，（等腰三角形的三線合一），
∴AN⊥EF，
∵AE=AF，
∴∠EAN=∠FAN，
∴=，
∴M點(diǎn)在的中點(diǎn)上．
分析：（1）根據(jù)∠AEF=∠APF+∠PAB；同理可得∠AFP=∠FPC+∠C；由弦切角定理知：∠PAB=∠C，由PF平分∠APC知：∠APF=∠CPF；故∠AEF=∠AFE，由此得證．
（2）根據(jù)切割線定理首先得出PD=DC=2x，進(jìn)而得出PA=PD，再得出AN⊥EF，進(jìn)而得出∠EAN=∠FAN，得出=，即M點(diǎn)在的中點(diǎn)上原題得證．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形外角的性質(zhì)、弦切角定理、圓周角定理的推論和等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出AN⊥EF是解題關(guān)鍵．