Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，點(diǎn)P在AC上，AP=1，若⊙O的圓心在線段BP上，且⊙O與AB、AC都相切，則⊙O的半徑是（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  1

  2

• C．

  3

  5

• D．1

Answer 1

分析：連接OM、ON，設(shè)⊙O半徑為R，求出OM=MP=R，根據(jù)勾股定理求出BP，OP，求出BO，根據(jù)切線長定理求出AN=AM=1+R，求出BN，在Rt△BNO中，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：
解：連接OM、ON，
∵⊙O與AB、AC都相切，
∴AN=AM，OM⊥CP，ON⊥AB，
∴∠BNO=∠OMP=90°，
設(shè)⊙O半徑為R，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，由勾股定理得：BC=3，
∵AP=1，AC=4，
∴CP=4-1=3=BC，
∴∠CBP=∠CPB=45°，
∵∠OMP=90°，
∴∠MOP=45°=∠OPM，
∴OM=MP=R，
在Rt△OMP中，由勾股定理得：PO=

2

R，．．
在Rt△BCP中，由勾股定理得：BP=3

2

，
則BO=3

2

-

2

R，AM=AN=1+R，
∴BN=BA-AN=5-（1+R_=4-R，
∵在Rt△BNO中，由勾股定理得：BN²+ON²=BO²，
∴（4-R）²+R²=（3

2

-

2

R）²，
解得：R=

1

2

，
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了切線長定理，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，用了方程思想．