Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（－，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，線段BC與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l相交于點(diǎn)D。設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，連接PA、AD、DP，線段AD與y軸相交于點(diǎn)E。

  （1）求該拋物線的解析式；

  （2）在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q，使以Q、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ADP全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；

  （3）將∠CED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊EC旋轉(zhuǎn)后與線段BC相交于點(diǎn)M，邊ED旋轉(zhuǎn)后與對(duì)稱(chēng)軸l相交于點(diǎn)N，連接PM、DN，若PM＝2DN，求點(diǎn)N的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果）。 

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（－，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，

                 ∴拋物線的解析式可設(shè)為，

                 將C（0，3）代入得，解得。

                 ∴拋物線的解析式為，即。

 （2）存在。如圖，

      由得對(duì)稱(chēng)軸l為，

      由B（3，0）、C（0，3）得tan∠OBC=，

      ∴∠OBC==30⁰。

      由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，得

∠ADP==120⁰。

由銳角三角函數(shù)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，2）。

∴DP=CP=1，AD=4。

①在y軸正方向上存在點(diǎn)Q₁，只要CQ₁=4，

則由SAS可判斷△Q₁CD≌△ADP，

此時(shí)，Q₁的坐標(biāo)為（0，7）。

②由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得Q₁關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q₂也滿(mǎn)足

△Q₂CD≌△ADP，

過(guò)點(diǎn)Q₂作Q₂G⊥y軸于點(diǎn)G，則在Rt△CQ₂G中，由Q₂C=4，∠Q₂CG=60⁰

可得

CG=2，Q₂G=2。∴OG=1。∴Q₂的坐標(biāo)為（－2，1）。

③在對(duì)稱(chēng)軸l點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)D的反方向上存在點(diǎn)Q₃，只要DQ₃=4，

則△Q₃DC≌△ADP，

此時(shí)，Q₃的坐標(biāo)為（，－2）。

④由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得Q₃關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q₄也滿(mǎn)足

△Q₂DC≌△ADP，

過(guò)點(diǎn)Q₄作Q₄H⊥l于點(diǎn)H，則在Rt△DQ₄H中，由Q₄D=4，∠Q₄DH=60⁰

可得

DH=2，HQ₄=2�！�Q₄的坐標(biāo)為（3，4）。

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，7）或（－2，1）或（，－2）或（3，4）。

（3）（）。