(2004•濟(jì)寧)如圖,AD是△ABC外角∠EAC的平分線,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F.
(1)求證:FB=FC;
(2)若FA=2,AD=4,求FB的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)欲證FB=FC,可證∠FBC=∠FCB.由A、C、B、F四點(diǎn)共圓可知∠FBC=∠CAD,又同弧所對(duì)的圓周角相等,則∠FCB=∠FAB,而∠FAB=∠EAD,則∠FCB=∠EAD,AD是△ABC外角∠EAC的平分線,得∠CAD=∠EAD,故∠FBC=∠FCB;
(2)由(1)知,求FB的長(zhǎng),即可以轉(zhuǎn)化為求FC的長(zhǎng),聯(lián)系已知條件:告訴FA與AD的長(zhǎng)度,即可證△FAC∽△FCD.
解答:(1)證明:∵A、C、B、F四點(diǎn)共圓
∴∠FBC=∠DAC
又∵AD平分∠EAC
∴∠EAD=∠DAC
又∵∠FCB=∠FAB(同弧所對(duì)的圓周角相等),∠FAB=∠EAD
∴∠FBC=∠FCB
∴FB=FC;

(2)解:∵∠BAC=∠BFC,∠FAB=∠FCB=∠FBC
∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC
∵∠AFC=∠CFD,
∴△FAC∽△FCD
∴FA:FC=FC:FD
∴FB2=FC2=FA•FD=2×6=36,
∴FB=6.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了圓周角定理及相似三角形的判定.在圓中,經(jīng)常利用同弧或者等弧所對(duì)的圓周角相等來實(shí)現(xiàn)角度的等量轉(zhuǎn)化.還要善于將已知條件與所要求的問題集中到兩個(gè)三角形中,運(yùn)用三角形相似來解決問題.
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C.丙
D.丁

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A.5050
B.4900
C.5000
D.4998

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