Question

（2013•濱州）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O過點(diǎn)B且分別與邊AB、BC相交于點(diǎn)D、E，EF⊥AC，垂足為F．求證：直線EF是⊙O的切線．

Answer 1

分析：連接OE，DE，則根據(jù)圓周角定理可得：DE⊥BC，由AB=AC，可得∠C=∠B，繼而可得∠CEF+∠OEB=90°，由切線的判定定理即可得出結(jié)論．

解答：解：方法一：
連接OE，DE，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DEB=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又∵OB=OE，
∴∠ABC=∠OEB，
∵∠FEC+∠C=90°，
∴∠FEC+∠OEB=90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O半徑，
∴直線EF是⊙O的切線．

方法二：連接OE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又∵OB=OE，
∴∠ABC=∠OEB，
∴∠C=∠OEB，
∴EO∥AC，
∵∠AFE=90°，
∴∠OEF=90°，
∴直線EF是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線，利用等角代換得出∠OEF為直角，難度一般．