Question

如圖，小島C位于港口A北偏東60°方向；一艘科學(xué)考察船從港口A出發(fā)以20海里每小時(shí)的速度向正東方向行駛，1小時(shí)后到達(dá)B處測得小島C在北偏東30°方向，然后繼續(xù)航行；在科學(xué)考察船從A港出發(fā)的同時(shí)一快艇在小島C用1小時(shí)補(bǔ)給物資后，立即以60海里/小時(shí)的速度給考察船送去．
（1）求艘科學(xué)考察船一直向正東方向航行過程中，離C島的最近距離是多少海里；
（2）快艇從小島C出發(fā)后最少需多少小時(shí)才能和考察船相遇（結(jié)果保留根號）？

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)C作CD⊥AD于點(diǎn)D，分別在Rt△CBD、Rt△ACD中用式子表示CD從而求得CD的長；
（2）設(shè)需要t小時(shí)，用特殊角的三角函數(shù)值可求出BD的長，在Rt△CDE中用勾股定理可以得到關(guān)于時(shí)間t的方程，求出t的值．

解答：解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥AD于點(diǎn)，則CD是離C島的最近距離，
∵∠EAC=60°，∠FBC=30°，
∴∠CAD=60°，∠CBD=60°，
∴在Rt△CBD中，CD=

3

BD；
在Rt△ACD中，AD=

3

CD=20+BD=3BD，
∴BD=10，
∴CD=10

3

；

（2）設(shè)需要t小時(shí)，則CE=60t，BE=20t，
∵∠FBC=30°，∴∠1=60°；
由（1）知CD=10

3

，故BD=

CD

tan∠1

=

10 3

3

=10海里，
故DE=BE-BD=20t-10，
在Rt△CDE中，CD²+DE²=CE²，
即（10

3

）²+（20t-10）²=（60t）²，
解得t₁=

-1- 33

32

（舍去），t₂=

-1+ 33

32

；
快艇從小島C出發(fā)后最少需

-1+ 33

32

小時(shí)才能和考查船相遇．

點(diǎn)評：此題是方向角問題在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，利用解直角三角形的相關(guān)知識解答．