Question

已知關于x的一元二次方程

1

4

x²-2x+a（x+a）=0的兩個實數(shù)根為x₁和x₂，若y=x1+x2+

1

2

x1x2

．
（1）當a≥0時，求y的取值范圍；
（2）當a＜0時，比較y與-a²+3a-9的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先把方程化為一般式得到

1

4

x²+（a-2）x+a²=0，再利用判別式得到a≤1，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到y(tǒng)=-4（a-2）+a=-3a+8，然后計算當0≤a≤1時對應的y的范圍；
（2）當a＜0時，y=-4（a-2）-a=-5a+8，然后利用求差法比較大小．

解答：解：（1）

1

4

x²+（a-2）x+a²=0，
∵△=（a-2）2-4×

1

4

×a²≥0，
∴a≤1，
根據(jù)題意得x₁+x₂=-4（a-2），x₁x₂=4a²，
∵0≤a≤1，
∴y=-4（a-2）+a
=-3a+8
∴5≤y≤8；
（2）當a＜0時，y=-4（a-2）-a=-5a+8，
y-（-a²+3a-9）=-5a+8+a²-3a+9=（a-4）²+1，
∵（a-4）²+1＞0，
∴y＞-a²+3a-9．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．