(2007•鎮(zhèn)江)探索、研究:下圖是按照一定的規(guī)律畫出的一列“樹型”圖,下表的n表示“樹型”圖的序號,an表示第n個“樹型”圖中“樹枝”的個數(shù).
圖:
表:
 n 1
 an 115 
(1)根據(jù)“圖”、“表”可以歸納出an關于n的關系式為______.
若直線l1經過點(a1,a2)、(a2,a3),求直線l1對應的函數(shù)關系式,并說明對任意的正整數(shù)n,點(an,an+1)都在直線l1上.
(2)設直線l2:y=-x+4與x軸相交于點A,與直線l1相交于點M,雙曲線y=(x>0)經過點M,且與直線l2相交于另一點N.
①求點N的坐標,并在如圖所示的直角坐標系中畫出雙曲線及直線l1、l2
②設H為雙曲線在點M、N之間的部分(不包括點M、N),P為H上一個動點,點P的橫坐標為t,直線MP與x軸相交于點Q,當t為何值時,△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍又是否存在t的值,使得△PMA的面積等于1?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
③在y軸上是否存在點G,使得△GMN的周長最小?若存在,求出點G的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)先求直線l1為y=2x+1,把點(2n-1,2n+1-1)代入,左式=2n+1-1,右式=2(2n-1)+1=2n+1-1,左式=右式,所以對任意的正整數(shù)n,點(an,an+1)都在直線l1上.
(2)①由題意,點A的坐標為(4,0),點M的坐標為(1,3);求得雙曲線為y=(x>0),由此得點N的坐標為(3,1).
②由題意,點P的坐標為當S△MQA=2S△MPA,即S△MPA=S△PQA時,P為MQ的中點,可得t=2時,△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍,過M作ME⊥x軸于E,則S△PMA=S△MEA-S△MPE-S△PEA=6-,得3t2-7t+9=0.通過此方程的解的問題可知此方程沒有實數(shù)根,即不存在這樣的t值,使△PMA的面積為1.
③設在y軸上存在點G,使得△GMN的周長最小,MN為定值,要使△GMN的周長最小,只要GM+GN的值最小,由平面幾何知識可知,G為M’N與y軸的交點,設過M’N的直線所對應的函數(shù)關系式為y=ax+b,得,由此可求得G的坐標為
解答:解:(1)由an=2n-1可得a1=1,a2=3,a3=7,
又直線l1經過點(a1,a2)、(a2,a3),設直線l1的解析式為y=kx+b,
把(1,3),(3,7)代入得k=2,b=1
所以直線l1為y=2x+1,
把點(2n-1,2n+1-1)代入y=2x+1,左式=2n+1-1,右式=2(2n-1)+1=2n+1-1,左式=右式,所以對任意的正整數(shù)n,點(an,an+1)都在直線l1上.

(2)①y=-x+4與x軸相交于點A,所以y=0,x=4,即點A的坐標為(4,0),
因為點M是L2與L1的交點,聯(lián)立,解得x=1,y=3,
所以點M的坐標為(1,3);
又因為雙曲線y=(x>0)經過點M,所以k=3
所以雙曲線為y=(x>0),
因為點N是雙曲線與直線是L2的交點,聯(lián)立,解得x=3,y=1
由此得點N的坐標為(3,1).
②由題意,點P的坐標為
當S△MQA=2S△MPA,即S△MPA=S△PQA時,P為MQ的中點,
可得t=2時,△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍,過M作ME⊥x軸于E,
則S△PMA=S△MEA-S△MPE-S△PEA=4.5-,得3t2-7t+9=0,
用配方法或根的判別式法可以確定此方程沒有實數(shù)根.
∴不存在這樣的t值,使△PMA的面積為1.
③由題意,點M關于y軸的對稱點M’的坐標為(-1,3),
設在y軸上存在點G,使得△GMN的周長最小,
∵MN為定值,
∴要使△GMN的周長最小,只要GM+GN的值最小,由平面幾何知識可知,G為M’N與y軸的交點,
設過M’N的直線所對應的函數(shù)關系式為y=ax+b,則,
,
由此可求得G的坐標為
點評:主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用.解題的關鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度,再結合具體圖形的性質求解.
練習冊系列答案
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圖:
表:
 n 1
 an 115 
(1)根據(jù)“圖”、“表”可以歸納出an關于n的關系式為______.
若直線l1經過點(a1,a2)、(a2,a3),求直線l1對應的函數(shù)關系式,并說明對任意的正整數(shù)n,點(an,an+1)都在直線l1上.
(2)設直線l2:y=-x+4與x軸相交于點A,與直線l1相交于點M,雙曲線y=(x>0)經過點M,且與直線l2相交于另一點N.
①求點N的坐標,并在如圖所示的直角坐標系中畫出雙曲線及直線l1、l2
②設H為雙曲線在點M、N之間的部分(不包括點M、N),P為H上一個動點,點P的橫坐標為t,直線MP與x軸相交于點Q,當t為何值時,△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍又是否存在t的值,使得△PMA的面積等于1?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
③在y軸上是否存在點G,使得△GMN的周長最。咳舸嬖,求出點G的坐標;若不存在,請說明理由.

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圖:
表:
 n 1
 an 115 
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(2)設直線l2:y=-x+4與x軸相交于點A,與直線l1相交于點M,雙曲線y=(x>0)經過點M,且與直線l2相交于另一點N.
①求點N的坐標,并在如圖所示的直角坐標系中畫出雙曲線及直線l1、l2
②設H為雙曲線在點M、N之間的部分(不包括點M、N),P為H上一個動點,點P的橫坐標為t,直線MP與x軸相交于點Q,當t為何值時,△MQA的面積等于△PMA的面積的2倍又是否存在t的值,使得△PMA的面積等于1?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
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(1)例如,當n=2時,a2=22-32×2+247=187,則a5=______,a6=______;
(2)第n層比第(n+1)層多堆放多少個儀器箱;(用含n的代數(shù)式表示)
(3)如果不考慮儀器箱堆放所承受的壓力,請根據(jù)題設條件判斷儀器箱最多可以堆放幾層?并說明理由;
(4)設每個儀器箱重54N(牛頓),每個儀器箱能承受的最大壓力為160N,并且堆放時每個儀器箱承受的壓力是均勻的.
①若儀器箱僅堆放第1、2兩層,求第1層中每個儀器箱承受的平均壓力;
②在確保儀器箱不被損壞的情況下,儀器箱最多可以堆放幾層?為什么?

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(3)如果不考慮儀器箱堆放所承受的壓力,請根據(jù)題設條件判斷儀器箱最多可以堆放幾層?并說明理由;
(4)設每個儀器箱重54N(牛頓),每個儀器箱能承受的最大壓力為160N,并且堆放時每個儀器箱承受的壓力是均勻的.
①若儀器箱僅堆放第1、2兩層,求第1層中每個儀器箱承受的平均壓力;
②在確保儀器箱不被損壞的情況下,儀器箱最多可以堆放幾層?為什么?

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