Question

有一個二次函數(shù)的圖象，三位學(xué)生分別說出了它的一些特點(diǎn)：
甲：對稱軸是直線x=4；
乙：與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)；
丙：與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為24．
請你確定滿足上述全部特點(diǎn)的一個二次函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，0），（x₂，0），解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂）．利用對稱軸方程的定義可知x₁+x₂=8、由已知條件“與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)”可設(shè)x₁=2，x₂=6（此時(shí)，x₁、x₂的值不唯一），由此可以求得該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)；最后根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于a的方程，通過解方程可以求得a值．
解答：解：（這是一道開放性題，答案不惟一）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，0），（x₂，0），解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂）．
由甲可知x₁+x₂=8，由乙可知x₁，x₂都是整數(shù)，不妨設(shè)x₁=2，x₂=6，
∴y=a（x-2）（x-6）=a（x²-8x+12）；
令x=0，則y=12a，
∴與y軸的交點(diǎn)為（0，12a）；
由丙可知，S_△=（ x₂-x₁）•12a=24，
∴24a=24，
∴a=1，
∴y=x²-8x+12．
點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題．此題屬于開放型題目，答案不唯一．解題時(shí)可以根據(jù)x₁+x₂=8靈活取x₁、x₂的整數(shù)值．