【題目】如圖1,A(﹣2,0),B(0,4),以B點為直角頂點在第二象限作等腰直角△ABC.
(1)求C點的坐標;
(2)在坐標平面內(nèi)是否存在一點P,使△PAB與△ABC全等?若存在,求出P點坐標,若不存在,請說明理由;
(3)如圖2,點E為y軸正半軸上一動點,以E為直角頂點作等腰直角△AEM,過M作MN⊥x軸于N,求OE﹣MN的值.
【答案】(1)C(-4,6);(2)存在,(-6,2)或(2,-2)或(4,2)或(-4,6);(3)2.
【解析】
試題(1)作CE⊥y軸于E,證明△CBE≌△BAO即可得出結(jié)論;(2)分為四種情況討論:①當P和C重合時,△PAB和△ABC全等,即此時P的坐標是(-4,6);②點P在第二象限,過P作PE⊥x軸于E,滿足∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°,PA=AB,則此時△PAB和△ABC全等,證明△PEA≌△AOB即可得出P點坐標;③點P在第一象限,作∠CAP=90°,交CB的延長線于P,此時△PAB和△ABC全等,過P作PE⊥x軸于E,證明△CMA≌△AEP即可求得P點坐標;④P點在第四象限,作∠BAP=90度,AP=AB,此時△PAB和△ABC全等,證明△AOB≌△PEA即可求出P點坐標;(3)作MF⊥y軸于F,把OE-MN轉(zhuǎn)化成OE-OF,于是OE-MN就等于EF的值,然后證明△AEO≌△EMF,把EF值轉(zhuǎn)化成AO的長度,就求出了OE-MN的結(jié)果.
試題解析:(1)作CE⊥y軸于E,如圖1,
∵A(-2,0),B(0,4),∴OA=2,OB=4,∵∠CBA=90°,∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°,∴∠ECB+∠EBC=90°∠CBE+∠ABO=90°,∴∠ECB=∠ABO,在△CBE和△BAO中,∠ECB=∠ABO,∠CEB=∠AOB,BC=AB,∴△CBE≌△BAO(AAS),∴CE=BO=4,BE=AO=2,即OE=2+4=6,因為C點在第二象限,∴C(-4,6).
(2)分四種情況討論:①如圖2,當P和C重合時,△PAB和△ABC全等,即此時P的坐標是(-4,6);
②如圖3,點P在第二象限,過P作PE⊥x軸于E,滿足∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°,PA=AB,則此時△PAB和△ABC全等,∵∠EPA+∠PAE=90°,∠PAE+∠BAO=90°,∴∠EPA=∠BAO(同角的余角相等),在△PEA和△AOB中,∠EPA=∠BAO,∠PEA=∠AOB,PA=AB,∴△PEA≌△AOB,∴PE=AO=2,EA=BO=4,∴OE=2+4=6,即P的坐標是(-6,2);
③如圖4,點P在第一象限,作∠CAP=90°,交CB的延長線于P,此時△PAB和△ABC全等,過P作PE⊥x軸于E,過C作CM⊥x軸于M,
則∠CMA=∠PEA=90°,∵△CBA≌△PBA,∴∠PAB=∠CAB=45°,AC=AP,∴∠CAP=90°,∴∠MCA+∠CAM=90°,∠CAM+∠PAE=90°,∴∠MCA=∠PAE,在△CMA和△AEP中,∠MCA=∠PAE,∠CMA=∠PEA,AC=AP,∴△CMA≌△AEP,∴PE=AM,CM=AE,∵C(-4,6),A(-2,0),
∴PE=AM=4-2=2,OE=AE-A0=6-2=4,即P的坐標是(4,2);
④如圖5,P點在第四象限,作∠BAP=90度,AP=AB,此時△PAB和△ABC全等,過P作PE⊥x軸于E,
∵△CBA≌△PAB,∴AB=AP,∠CBA=∠BAP=90°,則∠AEP=∠AOB=90°,∴∠BAO+∠PAE=90°,∠PAE+∠APE=90°,∴∠BAO=∠APE,在△AOB和△PEA中,∠BAO=∠APE,∠AOB=∠PEA,AB=AP,∴△AOB≌△PEA,∴PE=AO=2,AE=OB=4,∴0E=AE-AO=4-2=2,即P的坐標是(2,-2).綜上所述:坐標平面內(nèi)存在一點P,使△PAB與△ABC全等,符合條件的P的坐標是(-6,2)或(2,-2)或(4,2)或(-4,6).(3)如圖6,作MF⊥y軸于F,
則∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°,∵∠AEO+∠MEF=90°,∠MEF+∠EMF=90°,∴∠AEO=∠EMF,在△AOE和△EMF中,∠AOE=∠EFM,∠AEO=∠EMF,AE=EM,∴△AEO≌△EMF,∴EF=AO=2,MF=OE,∵MN⊥x軸,MF⊥y軸,∴∠MFO=∠FON=∠MNO=90°,∴四邊形FONM是矩形,∴MN=OF,∴OE-MN=OE-OF=EF=OA=2.即OE-MN的值是2.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:BOA是一條公路,河流OP恰好經(jīng)過橋O平分∠AOB.
(1)如果要從P處移動到公路上路徑最短,除圖中所示PM外,還可以選擇PN,求作這條路徑,兩條路徑的關(guān)系是______,理由是___________.
(2)河流下游處有一點Q,如果要從P點出發(fā),到達公路OA上的點C后再前往點Q,請你畫出一條最短路徑,表明點C的位置.
(3)D點在公路OB上,O點到D點的距離與C點相等,作出△CDP,求證:△CDP為等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【問題情境】
已知矩形的面積為a(a為常數(shù),a>0),當該矩形的長為多少時,它的周長
最小?最小值是多少?
【數(shù)學模型】
設(shè)該矩形的長為x,周長為y,則y與x的函數(shù)表達式為y=2(x+ )(x>0).
【探索研究】
小彬借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗,先探索函數(shù)y=x+ 的圖象性質(zhì).
(1)結(jié)合問題情境,函數(shù)y=x+ 的自變量x的取值范圍是x>0,如表是y與x的幾組對應值.
x | … | 1 | 2 | 3 | m | … | |||
y | … | 4 | 3 | 2 | 2 | 2 | 3 | 4 | … |
①寫出m的值;
②畫出該函數(shù)圖象,結(jié)合圖象,得出當x=時,y有最小值,y最小=;
(2)【解決問題】
直接寫出“問題情境”中問題的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AD、AE分別是△ABC的高和角平分線,∠B=30°,∠C=70°,分別求:
(1)∠BAC的度數(shù);
(2)∠AED的度數(shù);
(3)∠EAD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,長方形中,=4cm,=3cm,為的中點.動點從點出發(fā),以每秒1cm的速度沿運動,最終到達點.若點運動的時間為秒,則當=________ 時,的面積等于4.5.
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【題目】如圖:已知在△ABC中,AB=AC,D為BC邊的中點,過點D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F(xiàn).
(1)求證:DE=DF;
(2)若∠A=60°,BE=1,求△ABC的周長.
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【題目】設(shè)平面內(nèi)一點到等邊三角形中心的距離為d,等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為r,外接圓半徑為R.對于一個點與等邊三角形,給出如下定義:滿足r≤d≤R的點叫做等邊三角形的中心關(guān)聯(lián)點. 在平面直角坐標系xOy中,等邊△ABC的三個頂點的坐標分別為A(0,2),B(﹣ ,﹣1),C( ,﹣1).
(1)已知點D(2,2),E( ,1),F(xiàn)(﹣ ,﹣1).在D,E,F(xiàn)中,是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點的是;
(2)如圖1,過點A作直線交x軸正半軸于M,使∠AMO=30°. ①若線段AM上存在等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點P(m,n),求m的取值范圍;
②將直線AM向下平移得到直線y=kx+b,當b滿足什么條件時,直線y=kx+b上總存在等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點;(直接寫出答案,不需過程)
(3)如圖2,點Q為直線y=﹣1上一動點,⊙Q的半徑為 .當Q從點(﹣4,﹣1)出發(fā),以每秒1個單位的速度向右移動,運動時間為t秒.是否存在某一時刻t,使得⊙Q上所有點都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點?如果存在,請直接寫出所有符合題意的t的值;如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】張莊甲、乙兩家草莓采摘園的草莓銷售價格相同,“春節(jié)期間”,兩家采摘園將推出優(yōu)惠方案,甲園的優(yōu)惠方案是:游客進園需購買門票,采摘的草莓六折優(yōu)惠;乙園的優(yōu)惠方案是:游客進園不需購買門票,采摘園的草莓超過一定數(shù)量后,超過部分打折優(yōu)惠.優(yōu)惠期間,某游客的草莓采摘量為(千克),在甲園所需總費用為(元),在乙園所需總費用為(元),、與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,折線OAB表示與之間的函數(shù)關(guān)系.
(1)甲采摘園的門票是 元,兩個采摘園優(yōu)惠前的草莓單價是每千克 元;
(2)當>10時,求與的函數(shù)表達式;
(3)游客在“春節(jié)期間”采摘多少千克草莓時,甲、乙兩家采摘園的總費用相同.
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