Question

如圖，在半徑為2的⊙A中，點E為優(yōu)弧

BEC

的中點，圓心角∠BAC等于60°，在

EC

上有一動點D（不與點C重合），且點D到弦BC所在直線的距離為x．
（1）求弦BC的長；
（2）求陰影部分的面積y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）試分析比較陰影部分的面積y與扇形ABC的面積S的大小關(guān)系．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)∠BAC的度數(shù)，我們可得出△BAC應(yīng)是個等邊三角形，那么BC的長就是半徑的長．
（2）在（1）中已經(jīng)求得了BC的長，又知道了D到BC的距離也就是BC上的高，那么可根據(jù)三角形的面積計算公式得出y，x的函數(shù)關(guān)系式．如果過A作AH⊥BC于H，那么x的最大值就是AH+半徑的長，那么可在直角△AHB中求出AH的長也就求出了x的取值范圍．
（3）先計算出扇形BAC的面積，然后根據(jù)y與S的大小關(guān)系的不同得出不同的自變量的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°
∴△BAC是等邊三角形
∴BC=AB=2；

（2）如圖，過點A作AH⊥BC于H點，則BH=

1

2

BC=1．
y=S_△DBC+S_扇形ABC-S_△ABC=

1

2

•2x+

60π×22

360

-

1

2

×2×2×sin60°=x+

2

3

π-

3

，
即y=x+

2

3

π-

3

．
在Rt△ABH中，由勾股定理得到：AH²=AB²-BH²=3
∴AH=

3

，
∴0＜x≤2+

3

；

（3）y-S=x-

3

．
當x=

3

時，y-S=0，則y=S；
當0＜x＜

3

時，y-S＜0，則y＜S；
當x＞

3

時，y-S＞0，則y＞S．

點評：本題主要考查了圓的綜合題．解題時，利用了勾股定理、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及扇形面積的計算．解（3）題時，一定要分類討論，以防漏解．