Question

如圖，已知拋物線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B(-1，0)和點(diǎn)C(3，0)．

(1)求拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱軸；

(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線AC交于點(diǎn)D，連接AB、BD，求△ABD的面積；

(3)點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線MN，與直線AC交于點(diǎn)N．問在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以D、N、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

．解：（1）∵拋物線經(jīng)過B(－1，0)和C(3，0)

∴解得

∴拋物線的表達(dá)式為

∴對(duì)稱軸為直線x＝1   …………………………………………………3分

(2)令x＝0得y＝3 ∴A(0,3)

設(shè)AC的解析式為y=kx+b將A（0，3）、C（3，0）代入得

∴直線AC的解析式為y＝－x＋3

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2  ∴D(1,2)

∴…………6分

(3)假設(shè)存在點(diǎn)M，使得以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似。

在Rt△AOC中，∵OA=OC=3，∴Rt△AOC為等腰直角三角形，

∴∠OAC=∠OCA=45°，則以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形也必須是等腰直角三角形。

由MN∥OA得∠MND=∠OAC=45°，故以D、M、N為頂點(diǎn)的直角三角形只能以點(diǎn)D或M為直角頂點(diǎn)�！�………………………………………………………7分

①當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，DM⊥MN，此時(shí)△DMN∽△COA，∴DM所在的直線為y=2

由解得x=1±，∴M(或M（�！�……9分

②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，DM⊥AC，此時(shí)△DMN∽△OCA

∵D在對(duì)稱軸上，∴DB=DC，∴∠DBC=∠DCB=45⁰，∴∠ BDC=90⁰，∴BD⊥AC，

故M在直線BD上�！�………10分

設(shè)BD的解析式為y=kx+b,將B、D的坐標(biāo)代入得

∴BD的解析式為y=x+1

由。將x=-1代入y=x+1得y=0 ，∴M(-1,0)

將x=2代入y=x+1得y=3，∴M(2,3)

綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)M，使得以D、N、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，（，（-1，0），(2,3)