Question

含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．將其繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C邊與AB所在直線交于點(diǎn)D，過點(diǎn) D作DE∥A'B'交CB'邊于點(diǎn)E，連接BE．
（1）如圖1，當(dāng)A'B'邊經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，α=______°；
（2）在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中，若∠CBD的度數(shù)是∠CBE度數(shù)的m倍，猜想m的值并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)BC=1，AD=x，△BDE的面積為S，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑作⊙E，當(dāng)S=時(shí)，求AD的長(zhǎng)，并判斷此時(shí)直線A'C與⊙E的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）有旋轉(zhuǎn)可得出∠α；
（2）①如圖1，點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，m=2；②如圖2，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，m=4．由相似和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠A=∠CBE=30°．從而得出m的值；
（3）先求得△ABC的面積，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，AD=x，BD=AB-AD=2-x，得出直線A′C與⊙E相切．②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AD=x，BD=x-2，得出直線A′C與⊙E相交．
解答：解：（1）當(dāng)A′B′過點(diǎn)B時(shí)，α=60°；

（2）猜想：①如圖1，點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，m=2；
②如圖2，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，m=4．
證明：①當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上（如圖1）．
∵DE∥A′B′，
∴．
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE．
∴．
∴△CAD∽△CBE．
∴∠A=∠CBE=30°．
∵點(diǎn)D在AB邊上，∠CBD=60°，
∴∠CBD=2∠CBE，即m=2．
②當(dāng)90°＜α＜120°時(shí)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上（如圖2）．
與①同理可得∠A=∠CBE=30°．
∵點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，∠CBD=180°-∠CBA=120°，
∴∠CBD=4∠CBE，
即m=4；

（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2，，．
由△CAD∽△CBE得．
∵AD=x，
∴，．
①當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，AD=x，BD=AB-AD=2-x，∠DBE=90°．
此時(shí)，．
當(dāng)S=時(shí)，．
整理，得x²-2x+1=0．
解得x₁=x₂=1，即AD=1．
此時(shí)D為AB中點(diǎn)，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE．（如圖3）

∴EC=EB．
∵∠A′CB′=90°，點(diǎn)E在CB′邊上，
∴圓心E到A′C的距離EC等于⊙E的半徑EB．
∴直線A′C與⊙E相切．
②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AD=x，BD=x-2，∠DBE=90°．（如圖2）.．
當(dāng)S=時(shí)，．
整理，得x²-2x-1=0．
解得，（負(fù)值，舍去）．
即．
此時(shí)∠BCE=α，而90°＜α＜120°，∠CBE=30°，
∴∠CBE＜∠BCE．
∴EC＜EB，即圓心E到A′C的距離EC小于⊙E的半徑EB．
∴直線A′C與⊙E相交．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是一道綜合題，難度較大．